Rezolvați 3x^2-10x-8=0

$$3 { x }^{ 2 } -10x-8=0$$

Rezolvați pentru x

$$x=-\frac{2}{3}\approx -0,666666667$$

$$x=4$$

Pași utilizând descompunerea în factori prin grupare

Pentru a rezolva ecuația, factor mâna stângă după grupare. Mai întâi, fața la stânga trebuie să fie rescrisă ca 3x^{2}+ax+bx-8. Pentru a găsi a și b, configurați un sistem pentru a fi rezolvat.

$$a+b=-10 ab=3\left(-8\right)=-24$$

Deoarece ab este negativ, a și b au semne opuse. Deoarece a+b este negativ, numărul negativ are o valoare absolută mai mare decât valoarea pozitivă. Listează toate perechi de valori întregi care oferă produse -24.

$$1,-24 2,-12 3,-8 4,-6$$

Calculați suma pentru fiecare pereche.

$$1-24=-23 2-12=-10 3-8=-5 4-6=-2$$

Soluția este perechea care dă suma de -10.

$$a=-12 b=2$$

Rescrieți 3x^{2}-10x-8 ca \left(3x^{2}-12x\right)+\left(2x-8\right).

$$\left(3x^{2}-12x\right)+\left(2x-8\right)$$

Factor 3x în primul și 2 în al doilea grup.

$$3x\left(x-4\right)+2\left(x-4\right)$$

Scoateți termenul comun x-4 prin utilizarea proprietății de distributivitate.

$$\left(x-4\right)\left(3x+2\right)$$

Pentru a găsi soluții de ecuații, rezolvați x-4=0 și 3x+2=0.

$$x=4 x=-\frac{2}{3}$$

Pași folosind formula rădăcinilor ecuației de gradul al doilea

Toate ecuațiile de forma ax^{2}+bx+c=0 pot fi rezolvate utilizând formula rădăcinilor ecuației de gradul al doilea: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Formula rădăcinilor ecuației de gradul al doilea oferă două soluții, una atunci când operația ± este de adunare și una atunci când este de scădere.

$$3x^{2}-10x-8=0$$

Această ecuație este în formă standard: ax^{2}+bx+c=0. Înlocuiți a cu 3, b cu -10 și c cu -8 în formula rădăcinilor ecuațiilor de gradul al doilea, \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-\left(-10\right)±\sqrt{\left(-10\right)^{2}-4\times 3\left(-8\right)}}{2\times 3}$$

Ridicați -10 la pătrat.

$$x=\frac{-\left(-10\right)±\sqrt{100-4\times 3\left(-8\right)}}{2\times 3}$$

Înmulțiți -4 cu 3.

$$x=\frac{-\left(-10\right)±\sqrt{100-12\left(-8\right)}}{2\times 3}$$

Înmulțiți -12 cu -8.

$$x=\frac{-\left(-10\right)±\sqrt{100+96}}{2\times 3}$$

Adunați 100 cu 96.

$$x=\frac{-\left(-10\right)±\sqrt{196}}{2\times 3}$$

Aflați rădăcina pătrată pentru 196.

$$x=\frac{-\left(-10\right)±14}{2\times 3}$$

Opusul lui -10 este 10.

$$x=\frac{10±14}{2\times 3}$$

Înmulțiți 2 cu 3.

$$x=\frac{10±14}{6}$$

Acum rezolvați ecuația x=\frac{10±14}{6} atunci când ± este plus. Adunați 10 cu 14.

$$x=\frac{24}{6}$$

Împărțiți 24 la 6.

$$x=4$$

Acum rezolvați ecuația x=\frac{10±14}{6} atunci când ± este minus. Scădeți 14 din 10.

$$x=-\frac{4}{6}$$

Reduceți fracția \frac{-4}{6} la cei mai mici termeni, prin extragerea și reducerea 2.

$$x=-\frac{2}{3}$$

Ecuația este rezolvată acum.

$$x=4 x=-\frac{2}{3}$$

Pași pentru completarea pătratului

Ecuațiile de gradul doi ca aceasta pot fi rezolvate prin completarea pătratului. Pentru a completa pătratul, ecuația trebuie mai întâi să fie sub forma x^{2}+bx=c.

$$3x^{2}-10x-8=0$$

Adunați 8 la ambele părți ale ecuației.

$$3x^{2}-10x-8-\left(-8\right)=-\left(-8\right)$$

Scăderea -8 din el însuși are ca rezultat 0.

$$3x^{2}-10x=-\left(-8\right)$$

Scădeți -8 din 0.

$$3x^{2}-10x=8$$

Se împart ambele părți la 3.

$$\frac{3x^{2}-10x}{3}=\frac{8}{3}$$

Împărțirea la 3 anulează înmulțirea cu 3.

$$x^{2}-\frac{10}{3}x=\frac{8}{3}$$

Împărțiți -\frac{10}{3}, coeficientul termenului x, la 2 pentru a obține -\frac{5}{3}. Apoi, adunați pătratul lui -\frac{5}{3} la ambele părți ale ecuației. Acest pas face din partea stângă a ecuației un pătrat perfect.

$$x^{2}-\frac{10}{3}x+\left(-\frac{5}{3}\right)^{2}=\frac{8}{3}+\left(-\frac{5}{3}\right)^{2}$$

Ridicați -\frac{5}{3} la pătrat, calculând pătratul pentru numărătorul și numitorul fracției.

$$x^{2}-\frac{10}{3}x+\frac{25}{9}=\frac{8}{3}+\frac{25}{9}$$

Adunați \frac{8}{3} cu \frac{25}{9} găsind un numitor comun și adunând numărătorii. Apoi simplificați fracția până devine ireductibilă, dacă este posibil.

$$x^{2}-\frac{10}{3}x+\frac{25}{9}=\frac{49}{9}$$

Factor x^{2}-\frac{10}{3}x+\frac{25}{9}. În general, atunci când x^{2}+bx+c este un pătrat perfect, el poate fi descompus în factori oricând ca \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x-\frac{5}{3}\right)^{2}=\frac{49}{9}$$

Aflați rădăcina pătrată pentru ambele părți ale ecuației.

$$\sqrt{\left(x-\frac{5}{3}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{49}{9}}$$

Simplificați.

$$x-\frac{5}{3}=\frac{7}{3} x-\frac{5}{3}=-\frac{7}{3}$$

Adunați \frac{5}{3} la ambele părți ale ecuației.

$$x=4 x=-\frac{2}{3}$$