Rezolvați 3x^2+8x-3=65

$$3 { x }^{ 2 } +8x-3=65$$

Rezolvați pentru x

$$x = \frac{2 \sqrt{55} - 4}{3} \approx 3,610798991$$

$$x=\frac{-2\sqrt{55}-4}{3}\approx -6,277465658$$

Pași folosind formula rădăcinilor ecuației de gradul al doilea

Toate ecuațiile de forma ax^{2}+bx+c=0 pot fi rezolvate utilizând formula rădăcinilor ecuației de gradul al doilea: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Formula rădăcinilor ecuației de gradul al doilea oferă două soluții, una atunci când operația ± este de adunare și una atunci când este de scădere.

$$3x^{2}+8x-3=65$$

Scădeți 65 din ambele părți ale ecuației.

$$3x^{2}+8x-3-65=65-65$$

Scăderea 65 din el însuși are ca rezultat 0.

$$3x^{2}+8x-3-65=0$$

Scădeți 65 din -3.

$$3x^{2}+8x-68=0$$

Această ecuație este în formă standard: ax^{2}+bx+c=0. Înlocuiți a cu 3, b cu 8 și c cu -68 în formula rădăcinilor ecuațiilor de gradul al doilea, \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-8±\sqrt{8^{2}-4\times 3\left(-68\right)}}{2\times 3}$$

Ridicați 8 la pătrat.

$$x=\frac{-8±\sqrt{64-4\times 3\left(-68\right)}}{2\times 3}$$

Înmulțiți -4 cu 3.

$$x=\frac{-8±\sqrt{64-12\left(-68\right)}}{2\times 3}$$

Înmulțiți -12 cu -68.

$$x=\frac{-8±\sqrt{64+816}}{2\times 3}$$

Adunați 64 cu 816.

$$x=\frac{-8±\sqrt{880}}{2\times 3}$$

Aflați rădăcina pătrată pentru 880.

$$x=\frac{-8±4\sqrt{55}}{2\times 3}$$

Înmulțiți 2 cu 3.

$$x=\frac{-8±4\sqrt{55}}{6}$$

Acum rezolvați ecuația x=\frac{-8±4\sqrt{55}}{6} atunci când ± este plus. Adunați -8 cu 4\sqrt{55}.

$$x=\frac{4\sqrt{55}-8}{6}$$

Împărțiți -8+4\sqrt{55} la 6.

$$x=\frac{2\sqrt{55}-4}{3}$$

Acum rezolvați ecuația x=\frac{-8±4\sqrt{55}}{6} atunci când ± este minus. Scădeți 4\sqrt{55} din -8.

$$x=\frac{-4\sqrt{55}-8}{6}$$

Împărțiți -8-4\sqrt{55} la 6.

$$x=\frac{-2\sqrt{55}-4}{3}$$

Ecuația este rezolvată acum.

$$x=\frac{2\sqrt{55}-4}{3} x=\frac{-2\sqrt{55}-4}{3}$$

Pași pentru completarea pătratului

Ecuațiile de gradul doi ca aceasta pot fi rezolvate prin completarea pătratului. Pentru a completa pătratul, ecuația trebuie mai întâi să fie sub forma x^{2}+bx=c.

$$3x^{2}+8x-3=65$$

Adunați 3 la ambele părți ale ecuației.

$$3x^{2}+8x-3-\left(-3\right)=65-\left(-3\right)$$

Scăderea -3 din el însuși are ca rezultat 0.

$$3x^{2}+8x=65-\left(-3\right)$$

Scădeți -3 din 65.

$$3x^{2}+8x=68$$

Se împart ambele părți la 3.

$$\frac{3x^{2}+8x}{3}=\frac{68}{3}$$

Împărțirea la 3 anulează înmulțirea cu 3.

$$x^{2}+\frac{8}{3}x=\frac{68}{3}$$

Împărțiți \frac{8}{3}, coeficientul termenului x, la 2 pentru a obține \frac{4}{3}. Apoi, adunați pătratul lui \frac{4}{3} la ambele părți ale ecuației. Acest pas face din partea stângă a ecuației un pătrat perfect.

$$x^{2}+\frac{8}{3}x+\left(\frac{4}{3}\right)^{2}=\frac{68}{3}+\left(\frac{4}{3}\right)^{2}$$

Ridicați \frac{4}{3} la pătrat, calculând pătratul pentru numărătorul și numitorul fracției.

$$x^{2}+\frac{8}{3}x+\frac{16}{9}=\frac{68}{3}+\frac{16}{9}$$

Adunați \frac{68}{3} cu \frac{16}{9} găsind un numitor comun și adunând numărătorii. Apoi simplificați fracția până devine ireductibilă, dacă este posibil.

$$x^{2}+\frac{8}{3}x+\frac{16}{9}=\frac{220}{9}$$

Factor x^{2}+\frac{8}{3}x+\frac{16}{9}. În general, atunci când x^{2}+bx+c este un pătrat perfect, el poate fi descompus în factori oricând ca \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x+\frac{4}{3}\right)^{2}=\frac{220}{9}$$

Aflați rădăcina pătrată pentru ambele părți ale ecuației.

$$\sqrt{\left(x+\frac{4}{3}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{220}{9}}$$

Simplificați.

$$x+\frac{4}{3}=\frac{2\sqrt{55}}{3} x+\frac{4}{3}=-\frac{2\sqrt{55}}{3}$$

Scădeți \frac{4}{3} din ambele părți ale ecuației.

$$x=\frac{2\sqrt{55}-4}{3} x=\frac{-2\sqrt{55}-4}{3}$$