Rezolvați 3x^2+5x-2=0

$$3 { x }^{ 2 } +5x-2 = 0$$

Rezolvați pentru x

$$x=-2$$

$$x=\frac{1}{3}\approx 0.333333333$$

Pași utilizând descompunerea în factori prin grupare

Pentru a rezolva ecuația, descompuneți în factori partea stângă prin grupare. În primul rând, partea stângă trebuie să fie rescrisă ca 3x^{2}+ax+bx-2. Pentru a găsi a și b, configurați un sistem care să fie rezolvat.

$$a+b=5 ab=3\left(-2\right)=-6$$

Deoarece ab este negativ, a și b au semne opuse. Deoarece a+b este pozitiv, numărul pozitiv are o valoare absolută mai mare decât negativul. Enumerați toate perechile întregi care oferă -6 de produs.

$$-1,6 -2,3$$

Calculați suma pentru fiecare pereche.

$$-1+6=5 -2+3=1$$

Soluția este perechea care dă suma de 5.

$$a=-1 b=6$$

Rescrieți 3x^{2}+5x-2 ca \left(3x^{2}-x\right)+\left(6x-2\right).

$$\left(3x^{2}-x\right)+\left(6x-2\right)$$

Scoateți scoateți factorul x din primul și 2 din cel de-al doilea grup.

$$x\left(3x-1\right)+2\left(3x-1\right)$$

Scoateți termenul comun 3x-1 prin utilizarea proprietății de distributivitate.

$$\left(3x-1\right)\left(x+2\right)$$

Pentru a găsi soluții de ecuație, rezolvați 3x-1=0 și x+2=0.

$$x=\frac{1}{3} x=-2$$

Pași folosind formula rădăcinilor ecuației de gradul al doilea

Toate ecuațiile de forma ax^{2}+bx+c=0 pot fi rezolvate utilizând formula rădăcinilor ecuației de gradul al doilea: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Formula rădăcinilor ecuației de gradul al doilea oferă două soluții, una atunci când operația ± este de adunare și una atunci când este de scădere.

$$3x^{2}+5x-2=0$$

Această ecuație este în formă standard: ax^{2}+bx+c=0. Înlocuiți a cu 3, b cu 5 și c cu -2 în formula rădăcinilor ecuațiilor de gradul al doilea, \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-5±\sqrt{5^{2}-4\times 3\left(-2\right)}}{2\times 3}$$

Ridicați 5 la pătrat.

$$x=\frac{-5±\sqrt{25-4\times 3\left(-2\right)}}{2\times 3}$$

Înmulțiți -4 cu 3.

$$x=\frac{-5±\sqrt{25-12\left(-2\right)}}{2\times 3}$$

Înmulțiți -12 cu -2.

$$x=\frac{-5±\sqrt{25+24}}{2\times 3}$$

Adunați 25 cu 24.

$$x=\frac{-5±\sqrt{49}}{2\times 3}$$

Aflați rădăcina pătrată pentru 49.

$$x=\frac{-5±7}{2\times 3}$$

Înmulțiți 2 cu 3.

$$x=\frac{-5±7}{6}$$

Acum rezolvați ecuația x=\frac{-5±7}{6} atunci când ± este plus. Adunați -5 cu 7.

$$x=\frac{2}{6}$$

Reduceți fracția \frac{2}{6} la cei mai mici termeni, prin extragerea și reducerea 2.

$$x=\frac{1}{3}$$

Acum rezolvați ecuația x=\frac{-5±7}{6} atunci când ± este minus. Scădeți 7 din -5.

$$x=-\frac{12}{6}$$

Împărțiți -12 la 6.

$$x=-2$$

Ecuația este rezolvată acum.

$$x=\frac{1}{3} x=-2$$

Pași pentru completarea pătratului

Ecuațiile de gradul doi ca aceasta pot fi rezolvate prin completarea pătratului. Pentru a completa pătratul, ecuația trebuie mai întâi să fie sub forma x^{2}+bx=c.

$$3x^{2}+5x-2=0$$

Adunați 2 la ambele părți ale ecuației.

$$3x^{2}+5x-2-\left(-2\right)=-\left(-2\right)$$

Scăderea -2 din el însuși are ca rezultat 0.

$$3x^{2}+5x=-\left(-2\right)$$

Scădeți -2 din 0.

$$3x^{2}+5x=2$$

Se împart ambele părți la 3.

$$\frac{3x^{2}+5x}{3}=\frac{2}{3}$$

Împărțirea la 3 anulează înmulțirea cu 3.

$$x^{2}+\frac{5}{3}x=\frac{2}{3}$$

Împărțiți \frac{5}{3}, coeficientul termenului x, la 2 pentru a obține \frac{5}{6}. Apoi, adunați pătratul lui \frac{5}{6} la ambele părți ale ecuației. Acest pas face din partea stângă a ecuației un pătrat perfect.

$$x^{2}+\frac{5}{3}x+\left(\frac{5}{6}\right)^{2}=\frac{2}{3}+\left(\frac{5}{6}\right)^{2}$$

Ridicați \frac{5}{6} la pătrat, calculând pătratul pentru numărătorul și numitorul fracției.

$$x^{2}+\frac{5}{3}x+\frac{25}{36}=\frac{2}{3}+\frac{25}{36}$$

Adunați \frac{2}{3} cu \frac{25}{36} găsind un numitor comun și adunând numărătorii. Apoi simplificați fracția până devine ireductibilă, dacă este posibil.

$$x^{2}+\frac{5}{3}x+\frac{25}{36}=\frac{49}{36}$$

Factorul x^{2}+\frac{5}{3}x+\frac{25}{36}. În general, când x^{2}+bx+c este un pătrat perfect, acesta poate fi descompus întotdeauna în factori ca \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x+\frac{5}{6}\right)^{2}=\frac{49}{36}$$

Aflați rădăcina pătrată pentru ambele părți ale ecuației.

$$\sqrt{\left(x+\frac{5}{6}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{49}{36}}$$

Simplificați.

$$x+\frac{5}{6}=\frac{7}{6} x+\frac{5}{6}=-\frac{7}{6}$$

Scădeți \frac{5}{6} din ambele părți ale ecuației.

$$x=\frac{1}{3} x=-2$$