Rezolvați 3x^2+5x-1=0

$$3 { x }^{ 2 } +5x-1=0$$

Rezolvați pentru x

$$x=\frac{\sqrt{37}-5}{6}\approx 0,180460422$$

$$x=\frac{-\sqrt{37}-5}{6}\approx -1,847127088$$

Pași folosind formula rădăcinilor ecuației de gradul al doilea

Toate ecuațiile de forma ax^{2}+bx+c=0 pot fi rezolvate utilizând formula rădăcinilor ecuației de gradul al doilea: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Formula rădăcinilor ecuației de gradul al doilea oferă două soluții, una atunci când operația ± este de adunare și una atunci când este de scădere.

$$3x^{2}+5x-1=0$$

Această ecuație este în formă standard: ax^{2}+bx+c=0. Înlocuiți a cu 3, b cu 5 și c cu -1 în formula rădăcinilor ecuațiilor de gradul al doilea, \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-5±\sqrt{5^{2}-4\times 3\left(-1\right)}}{2\times 3}$$

Ridicați 5 la pătrat.

$$x=\frac{-5±\sqrt{25-4\times 3\left(-1\right)}}{2\times 3}$$

Înmulțiți -4 cu 3.

$$x=\frac{-5±\sqrt{25-12\left(-1\right)}}{2\times 3}$$

Înmulțiți -12 cu -1.

$$x=\frac{-5±\sqrt{25+12}}{2\times 3}$$

Adunați 25 cu 12.

$$x=\frac{-5±\sqrt{37}}{2\times 3}$$

Înmulțiți 2 cu 3.

$$x=\frac{-5±\sqrt{37}}{6}$$

Acum rezolvați ecuația x=\frac{-5±\sqrt{37}}{6} atunci când ± este plus. Adunați -5 cu \sqrt{37}.

$$x=\frac{\sqrt{37}-5}{6}$$

Acum rezolvați ecuația x=\frac{-5±\sqrt{37}}{6} atunci când ± este minus. Scădeți \sqrt{37} din -5.

$$x=\frac{-\sqrt{37}-5}{6}$$

Ecuația este rezolvată acum.

$$x=\frac{\sqrt{37}-5}{6} x=\frac{-\sqrt{37}-5}{6}$$

Pași pentru completarea pătratului

Ecuațiile de gradul doi ca aceasta pot fi rezolvate prin completarea pătratului. Pentru a completa pătratul, ecuația trebuie mai întâi să fie sub forma x^{2}+bx=c.

$$3x^{2}+5x-1=0$$

Adunați 1 la ambele părți ale ecuației.

$$3x^{2}+5x-1-\left(-1\right)=-\left(-1\right)$$

Scăderea -1 din el însuși are ca rezultat 0.

$$3x^{2}+5x=-\left(-1\right)$$

Scădeți -1 din 0.

$$3x^{2}+5x=1$$

Se împart ambele părți la 3.

$$\frac{3x^{2}+5x}{3}=\frac{1}{3}$$

Împărțirea la 3 anulează înmulțirea cu 3.

$$x^{2}+\frac{5}{3}x=\frac{1}{3}$$

Împărțiți \frac{5}{3}, coeficientul termenului x, la 2 pentru a obține \frac{5}{6}. Apoi, adunați pătratul lui \frac{5}{6} la ambele părți ale ecuației. Acest pas face din partea stângă a ecuației un pătrat perfect.

$$x^{2}+\frac{5}{3}x+\left(\frac{5}{6}\right)^{2}=\frac{1}{3}+\left(\frac{5}{6}\right)^{2}$$

Ridicați \frac{5}{6} la pătrat, calculând pătratul pentru numărătorul și numitorul fracției.

$$x^{2}+\frac{5}{3}x+\frac{25}{36}=\frac{1}{3}+\frac{25}{36}$$

Adunați \frac{1}{3} cu \frac{25}{36} găsind un numitor comun și adunând numărătorii. Apoi simplificați fracția până devine ireductibilă, dacă este posibil.

$$x^{2}+\frac{5}{3}x+\frac{25}{36}=\frac{37}{36}$$

Factor x^{2}+\frac{5}{3}x+\frac{25}{36}. În general, atunci când x^{2}+bx+c este un pătrat perfect, el poate fi descompus în factori oricând ca \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x+\frac{5}{6}\right)^{2}=\frac{37}{36}$$

Aflați rădăcina pătrată pentru ambele părți ale ecuației.

$$\sqrt{\left(x+\frac{5}{6}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{37}{36}}$$

Simplificați.

$$x+\frac{5}{6}=\frac{\sqrt{37}}{6} x+\frac{5}{6}=-\frac{\sqrt{37}}{6}$$

Scădeți \frac{5}{6} din ambele părți ale ecuației.

$$x=\frac{\sqrt{37}-5}{6} x=\frac{-\sqrt{37}-5}{6}$$