Rezolvați 3x^2+5x+9=0

$$3 { x }^{ 2 } +5x+9=0$$

Rezolvați pentru x (complex solution)

$$x=\frac{-5+\sqrt{83}i}{6}\approx -0.833333333+1.518405597i$$

$$x=\frac{-\sqrt{83}i-5}{6}\approx -0.833333333-1.518405597i$$

Pași folosind formula rădăcinilor ecuației de gradul al doilea

Toate ecuațiile de forma ax^{2}+bx+c=0 pot fi rezolvate utilizând formula rădăcinilor ecuației de gradul al doilea: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Formula rădăcinilor ecuației de gradul al doilea oferă două soluții, una atunci când operația ± este de adunare și una atunci când este de scădere.

$$3x^{2}+5x+9=0$$

Această ecuație este în formă standard: ax^{2}+bx+c=0. Înlocuiți a cu 3, b cu 5 și c cu 9 în formula rădăcinilor ecuațiilor de gradul al doilea, \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-5±\sqrt{5^{2}-4\times 3\times 9}}{2\times 3}$$

Ridicați 5 la pătrat.

$$x=\frac{-5±\sqrt{25-4\times 3\times 9}}{2\times 3}$$

Înmulțiți -4 cu 3.

$$x=\frac{-5±\sqrt{25-12\times 9}}{2\times 3}$$

Înmulțiți -12 cu 9.

$$x=\frac{-5±\sqrt{25-108}}{2\times 3}$$

Adunați 25 cu -108.

$$x=\frac{-5±\sqrt{-83}}{2\times 3}$$

Aflați rădăcina pătrată pentru -83.

$$x=\frac{-5±\sqrt{83}i}{2\times 3}$$

Înmulțiți 2 cu 3.

$$x=\frac{-5±\sqrt{83}i}{6}$$

Acum rezolvați ecuația x=\frac{-5±\sqrt{83}i}{6} atunci când ± este plus. Adunați -5 cu i\sqrt{83}.

$$x=\frac{-5+\sqrt{83}i}{6}$$

Acum rezolvați ecuația x=\frac{-5±\sqrt{83}i}{6} atunci când ± este minus. Scădeți i\sqrt{83} din -5.

$$x=\frac{-\sqrt{83}i-5}{6}$$

Ecuația este rezolvată acum.

$$x=\frac{-5+\sqrt{83}i}{6} x=\frac{-\sqrt{83}i-5}{6}$$

Pași pentru completarea pătratului

Ecuațiile de gradul doi ca aceasta pot fi rezolvate prin completarea pătratului. Pentru a completa pătratul, ecuația trebuie mai întâi să fie sub forma x^{2}+bx=c.

$$3x^{2}+5x+9=0$$

Scădeți 9 din ambele părți ale ecuației.

$$3x^{2}+5x+9-9=-9$$

Scăderea 9 din el însuși are ca rezultat 0.

$$3x^{2}+5x=-9$$

Se împart ambele părți la 3.

$$\frac{3x^{2}+5x}{3}=-\frac{9}{3}$$

Împărțirea la 3 anulează înmulțirea cu 3.

$$x^{2}+\frac{5}{3}x=-\frac{9}{3}$$

Împărțiți -9 la 3.

$$x^{2}+\frac{5}{3}x=-3$$

Împărțiți \frac{5}{3}, coeficientul termenului x, la 2 pentru a obține \frac{5}{6}. Apoi, adunați pătratul lui \frac{5}{6} la ambele părți ale ecuației. Acest pas face din partea stângă a ecuației un pătrat perfect.

$$x^{2}+\frac{5}{3}x+\left(\frac{5}{6}\right)^{2}=-3+\left(\frac{5}{6}\right)^{2}$$

Ridicați \frac{5}{6} la pătrat, calculând pătratul pentru numărătorul și numitorul fracției.

$$x^{2}+\frac{5}{3}x+\frac{25}{36}=-3+\frac{25}{36}$$

Adunați -3 cu \frac{25}{36}.

$$x^{2}+\frac{5}{3}x+\frac{25}{36}=-\frac{83}{36}$$

Factorul x^{2}+\frac{5}{3}x+\frac{25}{36}. În general, când x^{2}+bx+c este un pătrat perfect, acesta poate fi descompus întotdeauna în factori ca \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x+\frac{5}{6}\right)^{2}=-\frac{83}{36}$$

Aflați rădăcina pătrată pentru ambele părți ale ecuației.

$$\sqrt{\left(x+\frac{5}{6}\right)^{2}}=\sqrt{-\frac{83}{36}}$$

Simplificați.

$$x+\frac{5}{6}=\frac{\sqrt{83}i}{6} x+\frac{5}{6}=-\frac{\sqrt{83}i}{6}$$

Scădeți \frac{5}{6} din ambele părți ale ecuației.

$$x=\frac{-5+\sqrt{83}i}{6} x=\frac{-\sqrt{83}i-5}{6}$$