Rezolvați 3x^2+5x+6=0

$$3 { x }^{ 2 } +5x+6=0$$

Rezolvați pentru x (complex solution)

$$x=\frac{-5+\sqrt{47}i}{6}\approx -0,833333333+1,1426091i$$

$$x=\frac{-\sqrt{47}i-5}{6}\approx -0,833333333-1,1426091i$$

Pași folosind formula rădăcinilor ecuației de gradul al doilea

Toate ecuațiile de forma ax^{2}+bx+c=0 pot fi rezolvate utilizând formula rădăcinilor ecuației de gradul al doilea: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Formula rădăcinilor ecuației de gradul al doilea oferă două soluții, una atunci când operația ± este de adunare și una atunci când este de scădere.

$$3x^{2}+5x+6=0$$

Această ecuație este în formă standard: ax^{2}+bx+c=0. Înlocuiți a cu 3, b cu 5 și c cu 6 în formula rădăcinilor ecuațiilor de gradul al doilea, \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-5±\sqrt{5^{2}-4\times 3\times 6}}{2\times 3}$$

Ridicați 5 la pătrat.

$$x=\frac{-5±\sqrt{25-4\times 3\times 6}}{2\times 3}$$

Înmulțiți -4 cu 3.

$$x=\frac{-5±\sqrt{25-12\times 6}}{2\times 3}$$

Înmulțiți -12 cu 6.

$$x=\frac{-5±\sqrt{25-72}}{2\times 3}$$

Adunați 25 cu -72.

$$x=\frac{-5±\sqrt{-47}}{2\times 3}$$

Aflați rădăcina pătrată pentru -47.

$$x=\frac{-5±\sqrt{47}i}{2\times 3}$$

Înmulțiți 2 cu 3.

$$x=\frac{-5±\sqrt{47}i}{6}$$

Acum rezolvați ecuația x=\frac{-5±\sqrt{47}i}{6} atunci când ± este plus. Adunați -5 cu i\sqrt{47}.

$$x=\frac{-5+\sqrt{47}i}{6}$$

Acum rezolvați ecuația x=\frac{-5±\sqrt{47}i}{6} atunci când ± este minus. Scădeți i\sqrt{47} din -5.

$$x=\frac{-\sqrt{47}i-5}{6}$$

Ecuația este rezolvată acum.

$$x=\frac{-5+\sqrt{47}i}{6} x=\frac{-\sqrt{47}i-5}{6}$$

Pași pentru completarea pătratului

Ecuațiile de gradul doi ca aceasta pot fi rezolvate prin completarea pătratului. Pentru a completa pătratul, ecuația trebuie mai întâi să fie sub forma x^{2}+bx=c.

$$3x^{2}+5x+6=0$$

Scădeți 6 din ambele părți ale ecuației.

$$3x^{2}+5x+6-6=-6$$

Scăderea 6 din el însuși are ca rezultat 0.

$$3x^{2}+5x=-6$$

Se împart ambele părți la 3.

$$\frac{3x^{2}+5x}{3}=-\frac{6}{3}$$

Împărțirea la 3 anulează înmulțirea cu 3.

$$x^{2}+\frac{5}{3}x=-\frac{6}{3}$$

Împărțiți -6 la 3.

$$x^{2}+\frac{5}{3}x=-2$$

Împărțiți \frac{5}{3}, coeficientul termenului x, la 2 pentru a obține \frac{5}{6}. Apoi, adunați pătratul lui \frac{5}{6} la ambele părți ale ecuației. Acest pas face din partea stângă a ecuației un pătrat perfect.

$$x^{2}+\frac{5}{3}x+\left(\frac{5}{6}\right)^{2}=-2+\left(\frac{5}{6}\right)^{2}$$

Ridicați \frac{5}{6} la pătrat, calculând pătratul pentru numărătorul și numitorul fracției.

$$x^{2}+\frac{5}{3}x+\frac{25}{36}=-2+\frac{25}{36}$$

Adunați -2 cu \frac{25}{36}.

$$x^{2}+\frac{5}{3}x+\frac{25}{36}=-\frac{47}{36}$$

Factor x^{2}+\frac{5}{3}x+\frac{25}{36}. În general, atunci când x^{2}+bx+c este un pătrat perfect, el poate fi descompus în factori oricând ca \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x+\frac{5}{6}\right)^{2}=-\frac{47}{36}$$

Aflați rădăcina pătrată pentru ambele părți ale ecuației.

$$\sqrt{\left(x+\frac{5}{6}\right)^{2}}=\sqrt{-\frac{47}{36}}$$

Simplificați.

$$x+\frac{5}{6}=\frac{\sqrt{47}i}{6} x+\frac{5}{6}=-\frac{\sqrt{47}i}{6}$$

Scădeți \frac{5}{6} din ambele părți ale ecuației.

$$x=\frac{-5+\sqrt{47}i}{6} x=\frac{-\sqrt{47}i-5}{6}$$