Rezolvați 3x^2+38x-13=0

$$3 { x }^{ 2 } +38x-13 = 0$$

Rezolvați pentru x

$$x=-13$$

$$x=\frac{1}{3}\approx 0,333333333$$

Pași utilizând descompunerea în factori prin grupare

Pentru a rezolva ecuația, factor mâna stângă după grupare. Mai întâi, fața la stânga trebuie să fie rescrisă ca 3x^{2}+ax+bx-13. Pentru a găsi a și b, configurați un sistem pentru a fi rezolvat.

$$a+b=38 ab=3\left(-13\right)=-39$$

Deoarece ab este negativ, a și b au semne opuse. Deoarece a+b este pozitiv, numărul pozitiv are o valoare absolută mai mare decât valoarea negativă. Listează toate perechi de valori întregi care oferă produse -39.

$$-1,39 -3,13$$

Calculați suma pentru fiecare pereche.

$$-1+39=38 -3+13=10$$

Soluția este perechea care dă suma de 38.

$$a=-1 b=39$$

Rescrieți 3x^{2}+38x-13 ca \left(3x^{2}-x\right)+\left(39x-13\right).

$$\left(3x^{2}-x\right)+\left(39x-13\right)$$

Factor x în primul și 13 în al doilea grup.

$$x\left(3x-1\right)+13\left(3x-1\right)$$

Scoateți termenul comun 3x-1 prin utilizarea proprietății de distributivitate.

$$\left(3x-1\right)\left(x+13\right)$$

Pentru a găsi soluții de ecuații, rezolvați 3x-1=0 și x+13=0.

$$x=\frac{1}{3} x=-13$$

Pași folosind formula rădăcinilor ecuației de gradul al doilea

Toate ecuațiile de forma ax^{2}+bx+c=0 pot fi rezolvate utilizând formula rădăcinilor ecuației de gradul al doilea: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Formula rădăcinilor ecuației de gradul al doilea oferă două soluții, una atunci când operația ± este de adunare și una atunci când este de scădere.

$$3x^{2}+38x-13=0$$

Această ecuație este în formă standard: ax^{2}+bx+c=0. Înlocuiți a cu 3, b cu 38 și c cu -13 în formula rădăcinilor ecuațiilor de gradul al doilea, \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-38±\sqrt{38^{2}-4\times 3\left(-13\right)}}{2\times 3}$$

Ridicați 38 la pătrat.

$$x=\frac{-38±\sqrt{1444-4\times 3\left(-13\right)}}{2\times 3}$$

Înmulțiți -4 cu 3.

$$x=\frac{-38±\sqrt{1444-12\left(-13\right)}}{2\times 3}$$

Înmulțiți -12 cu -13.

$$x=\frac{-38±\sqrt{1444+156}}{2\times 3}$$

Adunați 1444 cu 156.

$$x=\frac{-38±\sqrt{1600}}{2\times 3}$$

Aflați rădăcina pătrată pentru 1600.

$$x=\frac{-38±40}{2\times 3}$$

Înmulțiți 2 cu 3.

$$x=\frac{-38±40}{6}$$

Acum rezolvați ecuația x=\frac{-38±40}{6} atunci când ± este plus. Adunați -38 cu 40.

$$x=\frac{2}{6}$$

Reduceți fracția \frac{2}{6} la cei mai mici termeni, prin extragerea și reducerea 2.

$$x=\frac{1}{3}$$

Acum rezolvați ecuația x=\frac{-38±40}{6} atunci când ± este minus. Scădeți 40 din -38.

$$x=-\frac{78}{6}$$

Împărțiți -78 la 6.

$$x=-13$$

Ecuația este rezolvată acum.

$$x=\frac{1}{3} x=-13$$

Pași pentru completarea pătratului

Ecuațiile de gradul doi ca aceasta pot fi rezolvate prin completarea pătratului. Pentru a completa pătratul, ecuația trebuie mai întâi să fie sub forma x^{2}+bx=c.

$$3x^{2}+38x-13=0$$

Adunați 13 la ambele părți ale ecuației.

$$3x^{2}+38x-13-\left(-13\right)=-\left(-13\right)$$

Scăderea -13 din el însuși are ca rezultat 0.

$$3x^{2}+38x=-\left(-13\right)$$

Scădeți -13 din 0.

$$3x^{2}+38x=13$$

Se împart ambele părți la 3.

$$\frac{3x^{2}+38x}{3}=\frac{13}{3}$$

Împărțirea la 3 anulează înmulțirea cu 3.

$$x^{2}+\frac{38}{3}x=\frac{13}{3}$$

Împărțiți \frac{38}{3}, coeficientul termenului x, la 2 pentru a obține \frac{19}{3}. Apoi, adunați pătratul lui \frac{19}{3} la ambele părți ale ecuației. Acest pas face din partea stângă a ecuației un pătrat perfect.

$$x^{2}+\frac{38}{3}x+\left(\frac{19}{3}\right)^{2}=\frac{13}{3}+\left(\frac{19}{3}\right)^{2}$$

Ridicați \frac{19}{3} la pătrat, calculând pătratul pentru numărătorul și numitorul fracției.

$$x^{2}+\frac{38}{3}x+\frac{361}{9}=\frac{13}{3}+\frac{361}{9}$$

Adunați \frac{13}{3} cu \frac{361}{9} găsind un numitor comun și adunând numărătorii. Apoi simplificați fracția până devine ireductibilă, dacă este posibil.

$$x^{2}+\frac{38}{3}x+\frac{361}{9}=\frac{400}{9}$$

Factor x^{2}+\frac{38}{3}x+\frac{361}{9}. În general, atunci când x^{2}+bx+c este un pătrat perfect, el poate fi descompus în factori oricând ca \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x+\frac{19}{3}\right)^{2}=\frac{400}{9}$$

Aflați rădăcina pătrată pentru ambele părți ale ecuației.

$$\sqrt{\left(x+\frac{19}{3}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{400}{9}}$$

Simplificați.

$$x+\frac{19}{3}=\frac{20}{3} x+\frac{19}{3}=-\frac{20}{3}$$

Scădeți \frac{19}{3} din ambele părți ale ecuației.

$$x=\frac{1}{3} x=-13$$