Rezolvați 3x^2+17x+10=0

$$3 { x }^{ 2 } +17x+10=0$$

Rezolvați pentru x

$$x=-5$$

$$x=-\frac{2}{3}\approx -0,666666667$$

Pași utilizând descompunerea în factori prin grupare

Pentru a rezolva ecuația, factor mâna stângă după grupare. Mai întâi, fața la stânga trebuie să fie rescrisă ca 3x^{2}+ax+bx+10. Pentru a găsi a și b, configurați un sistem pentru a fi rezolvat.

$$a+b=17 ab=3\times 10=30$$

Deoarece ab este pozitiv, a și b au același semn. Deoarece a+b este pozitiv, a și b sunt ambele pozitive. Listează toate perechi de valori întregi care oferă produse 30.

$$1,30 2,15 3,10 5,6$$

Calculați suma pentru fiecare pereche.

$$1+30=31 2+15=17 3+10=13 5+6=11$$

Soluția este perechea care dă suma de 17.

$$a=2 b=15$$

Rescrieți 3x^{2}+17x+10 ca \left(3x^{2}+2x\right)+\left(15x+10\right).

$$\left(3x^{2}+2x\right)+\left(15x+10\right)$$

Factor x în primul și 5 în al doilea grup.

$$x\left(3x+2\right)+5\left(3x+2\right)$$

Scoateți termenul comun 3x+2 prin utilizarea proprietății de distributivitate.

$$\left(3x+2\right)\left(x+5\right)$$

Pentru a găsi soluții de ecuații, rezolvați 3x+2=0 și x+5=0.

$$x=-\frac{2}{3} x=-5$$

Pași folosind formula rădăcinilor ecuației de gradul al doilea

Toate ecuațiile de forma ax^{2}+bx+c=0 pot fi rezolvate utilizând formula rădăcinilor ecuației de gradul al doilea: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Formula rădăcinilor ecuației de gradul al doilea oferă două soluții, una atunci când operația ± este de adunare și una atunci când este de scădere.

$$3x^{2}+17x+10=0$$

Această ecuație este în formă standard: ax^{2}+bx+c=0. Înlocuiți a cu 3, b cu 17 și c cu 10 în formula rădăcinilor ecuațiilor de gradul al doilea, \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-17±\sqrt{17^{2}-4\times 3\times 10}}{2\times 3}$$

Ridicați 17 la pătrat.

$$x=\frac{-17±\sqrt{289-4\times 3\times 10}}{2\times 3}$$

Înmulțiți -4 cu 3.

$$x=\frac{-17±\sqrt{289-12\times 10}}{2\times 3}$$

Înmulțiți -12 cu 10.

$$x=\frac{-17±\sqrt{289-120}}{2\times 3}$$

Adunați 289 cu -120.

$$x=\frac{-17±\sqrt{169}}{2\times 3}$$

Aflați rădăcina pătrată pentru 169.

$$x=\frac{-17±13}{2\times 3}$$

Înmulțiți 2 cu 3.

$$x=\frac{-17±13}{6}$$

Acum rezolvați ecuația x=\frac{-17±13}{6} atunci când ± este plus. Adunați -17 cu 13.

$$x=-\frac{4}{6}$$

Reduceți fracția \frac{-4}{6} la cei mai mici termeni, prin extragerea și reducerea 2.

$$x=-\frac{2}{3}$$

Acum rezolvați ecuația x=\frac{-17±13}{6} atunci când ± este minus. Scădeți 13 din -17.

$$x=-\frac{30}{6}$$

Împărțiți -30 la 6.

$$x=-5$$

Ecuația este rezolvată acum.

$$x=-\frac{2}{3} x=-5$$

Pași pentru completarea pătratului

Ecuațiile de gradul doi ca aceasta pot fi rezolvate prin completarea pătratului. Pentru a completa pătratul, ecuația trebuie mai întâi să fie sub forma x^{2}+bx=c.

$$3x^{2}+17x+10=0$$

Scădeți 10 din ambele părți ale ecuației.

$$3x^{2}+17x+10-10=-10$$

Scăderea 10 din el însuși are ca rezultat 0.

$$3x^{2}+17x=-10$$

Se împart ambele părți la 3.

$$\frac{3x^{2}+17x}{3}=-\frac{10}{3}$$

Împărțirea la 3 anulează înmulțirea cu 3.

$$x^{2}+\frac{17}{3}x=-\frac{10}{3}$$

Împărțiți \frac{17}{3}, coeficientul termenului x, la 2 pentru a obține \frac{17}{6}. Apoi, adunați pătratul lui \frac{17}{6} la ambele părți ale ecuației. Acest pas face din partea stângă a ecuației un pătrat perfect.

$$x^{2}+\frac{17}{3}x+\left(\frac{17}{6}\right)^{2}=-\frac{10}{3}+\left(\frac{17}{6}\right)^{2}$$

Ridicați \frac{17}{6} la pătrat, calculând pătratul pentru numărătorul și numitorul fracției.

$$x^{2}+\frac{17}{3}x+\frac{289}{36}=-\frac{10}{3}+\frac{289}{36}$$

Adunați -\frac{10}{3} cu \frac{289}{36} găsind un numitor comun și adunând numărătorii. Apoi simplificați fracția până devine ireductibilă, dacă este posibil.

$$x^{2}+\frac{17}{3}x+\frac{289}{36}=\frac{169}{36}$$

Factor x^{2}+\frac{17}{3}x+\frac{289}{36}. În general, atunci când x^{2}+bx+c este un pătrat perfect, el poate fi descompus în factori oricând ca \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x+\frac{17}{6}\right)^{2}=\frac{169}{36}$$

Aflați rădăcina pătrată pentru ambele părți ale ecuației.

$$\sqrt{\left(x+\frac{17}{6}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{169}{36}}$$

Simplificați.

$$x+\frac{17}{6}=\frac{13}{6} x+\frac{17}{6}=-\frac{13}{6}$$

Scădeți \frac{17}{6} din ambele părți ale ecuației.

$$x=-\frac{2}{3} x=-5$$