Rezolvați 3x^2+17x+10

$$3 { x }^{ 2 } +17x+10$$

Descompunere în factori

$$\left(x+5\right)\left(3x+2\right)$$

Pașii soluției

Descompuneți expresia în factori prin grupare. Mai întâi, expresia trebuie să fie rescrisă ca 3x^{2}+ax+bx+10. Pentru a găsi a și b, configurați un sistem pentru a fi rezolvat.

$$a+b=17 ab=3\times 10=30$$

Deoarece ab este pozitiv, a și b au același semn. Deoarece a+b este pozitiv, a și b sunt ambele pozitive. Listează toate perechi de valori întregi care oferă produse 30.

$$1,30 2,15 3,10 5,6$$

Calculați suma pentru fiecare pereche.

$$1+30=31 2+15=17 3+10=13 5+6=11$$

Soluția este perechea care dă suma de 17.

$$a=2 b=15$$

Rescrieți 3x^{2}+17x+10 ca \left(3x^{2}+2x\right)+\left(15x+10\right).

$$\left(3x^{2}+2x\right)+\left(15x+10\right)$$

Factor x în primul și 5 în al doilea grup.

$$x\left(3x+2\right)+5\left(3x+2\right)$$

Scoateți termenul comun 3x+2 prin utilizarea proprietății de distributivitate.

$$\left(3x+2\right)\left(x+5\right)$$

Pași folosind formula rădăcinilor ecuației de gradul al doilea

Polinomul de gradul doi se poate descompune în factori folosind transformarea ax^{2}+bx+c=a\left(x-x_{1}\right)\left(x-x_{2}\right), unde x_{1} și x_{2} sunt soluțiile ecuației de gradul doi ax^{2}+bx+c=0.

$$3x^{2}+17x+10=0$$

Toate ecuațiile de forma ax^{2}+bx+c=0 pot fi rezolvate utilizând formula rădăcinilor ecuației de gradul al doilea: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Formula rădăcinilor ecuației de gradul al doilea oferă două soluții, una atunci când operația ± este de adunare și una atunci când este de scădere.

$$x=\frac{-17±\sqrt{17^{2}-4\times 3\times 10}}{2\times 3}$$

Ridicați 17 la pătrat.

$$x=\frac{-17±\sqrt{289-4\times 3\times 10}}{2\times 3}$$

Înmulțiți -4 cu 3.

$$x=\frac{-17±\sqrt{289-12\times 10}}{2\times 3}$$

Înmulțiți -12 cu 10.

$$x=\frac{-17±\sqrt{289-120}}{2\times 3}$$

Adunați 289 cu -120.

$$x=\frac{-17±\sqrt{169}}{2\times 3}$$

Aflați rădăcina pătrată pentru 169.

$$x=\frac{-17±13}{2\times 3}$$

Înmulțiți 2 cu 3.

$$x=\frac{-17±13}{6}$$

Acum rezolvați ecuația x=\frac{-17±13}{6} atunci când ± este plus. Adunați -17 cu 13.

$$x=-\frac{4}{6}$$

Reduceți fracția \frac{-4}{6} la cei mai mici termeni, prin extragerea și reducerea 2.

$$x=-\frac{2}{3}$$

Acum rezolvați ecuația x=\frac{-17±13}{6} atunci când ± este minus. Scădeți 13 din -17.

$$x=-\frac{30}{6}$$

Împărțiți -30 la 6.

$$x=-5$$

Descompuneți în factori expresia inițială utilizând ax^{2}+bx+c=a\left(x-x_{1}\right)\left(x-x_{2}\right). Înlocuiți x_{1} cu -\frac{2}{3} și x_{2} cu -5.

$$3x^{2}+17x+10=3\left(x-\left(-\frac{2}{3}\right)\right)\left(x-\left(-5\right)\right)$$

Simplificați toate expresiile formei p-\left(-q\right) la p+q.

$$3x^{2}+17x+10=3\left(x+\frac{2}{3}\right)\left(x+5\right)$$

Adunați \frac{2}{3} cu x găsind un numitor comun și adunând numărătorii. Apoi simplificați fracția până devine ireductibilă, dacă este posibil.

$$3x^{2}+17x+10=3\times \frac{3x+2}{3}\left(x+5\right)$$

Simplificați cu 3, cel mai mare factor comun din 3 și 3.

$$3x^{2}+17x+10=\left(3x+2\right)\left(x+5\right)$$

Evaluați

$$\left(x+5\right)\left(3x+2\right)$$