Rezolvați 3n^2-11n-874=0

$$3 { n }^{ 2 } -11n-874 = 0$$

Rezolvați pentru n

$$n = -\frac{46}{3} = -15\frac{1}{3} \approx -15,333333333$$

$$n=19$$

Pași utilizând descompunerea în factori prin grupare

Pentru a rezolva ecuația, factor mâna stângă după grupare. Mai întâi, fața la stânga trebuie să fie rescrisă ca 3n^{2}+an+bn-874. Pentru a găsi a și b, configurați un sistem pentru a fi rezolvat.

$$a+b=-11 ab=3\left(-874\right)=-2622$$

Deoarece ab este negativ, a și b au semne opuse. Deoarece a+b este negativ, numărul negativ are o valoare absolută mai mare decât valoarea pozitivă. Listează toate perechi de valori întregi care oferă produse -2622.

$$1,-2622 2,-1311 3,-874 6,-437 19,-138 23,-114 38,-69 46,-57$$

Calculați suma pentru fiecare pereche.

$$1-2622=-2621 2-1311=-1309 3-874=-871 6-437=-431 19-138=-119 23-114=-91 38-69=-31 46-57=-11$$

Soluția este perechea care dă suma de -11.

$$a=-57 b=46$$

Rescrieți 3n^{2}-11n-874 ca \left(3n^{2}-57n\right)+\left(46n-874\right).

$$\left(3n^{2}-57n\right)+\left(46n-874\right)$$

Factor 3n în primul și 46 în al doilea grup.

$$3n\left(n-19\right)+46\left(n-19\right)$$

Scoateți termenul comun n-19 prin utilizarea proprietății de distributivitate.

$$\left(n-19\right)\left(3n+46\right)$$

Pentru a găsi soluții de ecuații, rezolvați n-19=0 și 3n+46=0.

$$n=19 n=-\frac{46}{3}$$

Pași folosind formula rădăcinilor ecuației de gradul al doilea

Toate ecuațiile de forma ax^{2}+bx+c=0 pot fi rezolvate utilizând formula rădăcinilor ecuației de gradul al doilea: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Formula rădăcinilor ecuației de gradul al doilea oferă două soluții, una atunci când operația ± este de adunare și una atunci când este de scădere.

$$3n^{2}-11n-874=0$$

Această ecuație este în formă standard: ax^{2}+bx+c=0. Înlocuiți a cu 3, b cu -11 și c cu -874 în formula rădăcinilor ecuațiilor de gradul al doilea, \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$n=\frac{-\left(-11\right)±\sqrt{\left(-11\right)^{2}-4\times 3\left(-874\right)}}{2\times 3}$$

Ridicați -11 la pătrat.

$$n=\frac{-\left(-11\right)±\sqrt{121-4\times 3\left(-874\right)}}{2\times 3}$$

Înmulțiți -4 cu 3.

$$n=\frac{-\left(-11\right)±\sqrt{121-12\left(-874\right)}}{2\times 3}$$

Înmulțiți -12 cu -874.

$$n=\frac{-\left(-11\right)±\sqrt{121+10488}}{2\times 3}$$

Adunați 121 cu 10488.

$$n=\frac{-\left(-11\right)±\sqrt{10609}}{2\times 3}$$

Aflați rădăcina pătrată pentru 10609.

$$n=\frac{-\left(-11\right)±103}{2\times 3}$$

Opusul lui -11 este 11.

$$n=\frac{11±103}{2\times 3}$$

Înmulțiți 2 cu 3.

$$n=\frac{11±103}{6}$$

Acum rezolvați ecuația n=\frac{11±103}{6} atunci când ± este plus. Adunați 11 cu 103.

$$n=\frac{114}{6}$$

Împărțiți 114 la 6.

$$n=19$$

Acum rezolvați ecuația n=\frac{11±103}{6} atunci când ± este minus. Scădeți 103 din 11.

$$n=-\frac{92}{6}$$

Reduceți fracția \frac{-92}{6} la cei mai mici termeni, prin extragerea și reducerea 2.

$$n=-\frac{46}{3}$$

Ecuația este rezolvată acum.

$$n=19 n=-\frac{46}{3}$$

Pași pentru completarea pătratului

Ecuațiile de gradul doi ca aceasta pot fi rezolvate prin completarea pătratului. Pentru a completa pătratul, ecuația trebuie mai întâi să fie sub forma x^{2}+bx=c.

$$3n^{2}-11n-874=0$$

Adunați 874 la ambele părți ale ecuației.

$$3n^{2}-11n-874-\left(-874\right)=-\left(-874\right)$$

Scăderea -874 din el însuși are ca rezultat 0.

$$3n^{2}-11n=-\left(-874\right)$$

Scădeți -874 din 0.

$$3n^{2}-11n=874$$

Se împart ambele părți la 3.

$$\frac{3n^{2}-11n}{3}=\frac{874}{3}$$

Împărțirea la 3 anulează înmulțirea cu 3.

$$n^{2}-\frac{11}{3}n=\frac{874}{3}$$

Împărțiți -\frac{11}{3}, coeficientul termenului x, la 2 pentru a obține -\frac{11}{6}. Apoi, adunați pătratul lui -\frac{11}{6} la ambele părți ale ecuației. Acest pas face din partea stângă a ecuației un pătrat perfect.

$$n^{2}-\frac{11}{3}n+\left(-\frac{11}{6}\right)^{2}=\frac{874}{3}+\left(-\frac{11}{6}\right)^{2}$$

Ridicați -\frac{11}{6} la pătrat, calculând pătratul pentru numărătorul și numitorul fracției.

$$n^{2}-\frac{11}{3}n+\frac{121}{36}=\frac{874}{3}+\frac{121}{36}$$

Adunați \frac{874}{3} cu \frac{121}{36} găsind un numitor comun și adunând numărătorii. Apoi simplificați fracția până devine ireductibilă, dacă este posibil.

$$n^{2}-\frac{11}{3}n+\frac{121}{36}=\frac{10609}{36}$$

Factor n^{2}-\frac{11}{3}n+\frac{121}{36}. În general, atunci când x^{2}+bx+c este un pătrat perfect, el poate fi descompus în factori oricând ca \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(n-\frac{11}{6}\right)^{2}=\frac{10609}{36}$$

Aflați rădăcina pătrată pentru ambele părți ale ecuației.

$$\sqrt{\left(n-\frac{11}{6}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{10609}{36}}$$

Simplificați.

$$n-\frac{11}{6}=\frac{103}{6} n-\frac{11}{6}=-\frac{103}{6}$$

Adunați \frac{11}{6} la ambele părți ale ecuației.

$$n=19 n=-\frac{46}{3}$$