Rezolvați 3sqrt{2x-3}+2sqrt{7-x}=11

$$3 \sqrt{ 2x-3 } +2 \sqrt{ 7-x } =11$$

Rezolvați pentru x

$$x=6$$

Pașii soluției

Scădeți 2\sqrt{7-x} din ambele părți ale ecuației.

$$3\sqrt{2x-3}=11-2\sqrt{7-x}$$

Ridicați la pătrat ambele părți ale ecuației.

$$\left(3\sqrt{2x-3}\right)^{2}=\left(11-2\sqrt{7-x}\right)^{2}$$

Extindeți \left(3\sqrt{2x-3}\right)^{2}.

$$3^{2}\left(\sqrt{2x-3}\right)^{2}=\left(11-2\sqrt{7-x}\right)^{2}$$

Calculați 3 la puterea 2 și obțineți 9.

$$9\left(\sqrt{2x-3}\right)^{2}=\left(11-2\sqrt{7-x}\right)^{2}$$

Calculați \sqrt{2x-3} la puterea 2 și obțineți 2x-3.

$$9\left(2x-3\right)=\left(11-2\sqrt{7-x}\right)^{2}$$

Utilizați proprietatea de distributivitate pentru a înmulți 9 cu 2x-3.

$$18x-27=\left(11-2\sqrt{7-x}\right)^{2}$$

Utilizați binomul lui Newton \left(a-b\right)^{2}=a^{2}-2ab+b^{2} pentru a extinde \left(11-2\sqrt{7-x}\right)^{2}.

$$18x-27=121-44\sqrt{7-x}+4\left(\sqrt{7-x}\right)^{2}$$

Calculați \sqrt{7-x} la puterea 2 și obțineți 7-x.

$$18x-27=121-44\sqrt{7-x}+4\left(7-x\right)$$

Utilizați proprietatea de distributivitate pentru a înmulți 4 cu 7-x.

$$18x-27=121-44\sqrt{7-x}+28-4x$$

Adunați 121 și 28 pentru a obține 149.

$$18x-27=149-44\sqrt{7-x}-4x$$

Scădeți 149-4x din ambele părți ale ecuației.

$$18x-27-\left(149-4x\right)=-44\sqrt{7-x}$$

Pentru a găsi opusul lui 149-4x, găsiți opusul fiecărui termen.

$$18x-27-149+4x=-44\sqrt{7-x}$$

Scădeți 149 din -27 pentru a obține -176.

$$18x-176+4x=-44\sqrt{7-x}$$

Combinați 18x cu 4x pentru a obține 22x.

$$22x-176=-44\sqrt{7-x}$$

Ridicați la pătrat ambele părți ale ecuației.

$$\left(22x-176\right)^{2}=\left(-44\sqrt{7-x}\right)^{2}$$

Utilizați binomul lui Newton \left(a-b\right)^{2}=a^{2}-2ab+b^{2} pentru a extinde \left(22x-176\right)^{2}.

$$484x^{2}-7744x+30976=\left(-44\sqrt{7-x}\right)^{2}$$

Extindeți \left(-44\sqrt{7-x}\right)^{2}.

$$484x^{2}-7744x+30976=\left(-44\right)^{2}\left(\sqrt{7-x}\right)^{2}$$

Calculați -44 la puterea 2 și obțineți 1936.

$$484x^{2}-7744x+30976=1936\left(\sqrt{7-x}\right)^{2}$$

Calculați \sqrt{7-x} la puterea 2 și obțineți 7-x.

$$484x^{2}-7744x+30976=1936\left(7-x\right)$$

Utilizați proprietatea de distributivitate pentru a înmulți 1936 cu 7-x.

$$484x^{2}-7744x+30976=13552-1936x$$

Scădeți 13552 din ambele părți.

$$484x^{2}-7744x+30976-13552=-1936x$$

Scădeți 13552 din 30976 pentru a obține 17424.

$$484x^{2}-7744x+17424=-1936x$$

Adăugați 1936x la ambele părți.

$$484x^{2}-7744x+17424+1936x=0$$

Combinați -7744x cu 1936x pentru a obține -5808x.

$$484x^{2}-5808x+17424=0$$

Această ecuație este în formă standard: ax^{2}+bx+c=0. Înlocuiți a cu 484, b cu -5808 și c cu 17424 în formula rădăcinilor ecuațiilor de gradul al doilea, \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-\left(-5808\right)±\sqrt{\left(-5808\right)^{2}-4\times 484\times 17424}}{2\times 484}$$

Ridicați -5808 la pătrat.

$$x=\frac{-\left(-5808\right)±\sqrt{33732864-4\times 484\times 17424}}{2\times 484}$$

Înmulțiți -4 cu 484.

$$x=\frac{-\left(-5808\right)±\sqrt{33732864-1936\times 17424}}{2\times 484}$$

Înmulțiți -1936 cu 17424.

$$x=\frac{-\left(-5808\right)±\sqrt{33732864-33732864}}{2\times 484}$$

Adunați 33732864 cu -33732864.

$$x=\frac{-\left(-5808\right)±\sqrt{0}}{2\times 484}$$

Aflați rădăcina pătrată pentru 0.

$$x=-\frac{-5808}{2\times 484}$$

Opusul lui -5808 este 5808.

$$x=\frac{5808}{2\times 484}$$

Înmulțiți 2 cu 484.

$$x=\frac{5808}{968}$$

Împărțiți 5808 la 968.

$$x=6$$

Înlocuiți x cu 6 în ecuația 3\sqrt{2x-3}+2\sqrt{7-x}=11.

$$3\sqrt{2\times 6-3}+2\sqrt{7-6}=11$$

Simplificați. Valoarea x=6 corespunde ecuației.

$$11=11$$

Ecuația 3\sqrt{2x-3}=-2\sqrt{7-x}+11 are o soluție unică.

$$x=6$$