Rezolvați 2x-3=x^2+3x+5

$$2x-3 = { x }^{ 2 } +3x+5$$

Rezolvați pentru x (complex solution)

$$x=\frac{-\sqrt{31}i-1}{2}\approx -0,5-2,783882181i$$

$$x=\frac{-1+\sqrt{31}i}{2}\approx -0,5+2,783882181i$$

Pași folosind formula rădăcinilor ecuației de gradul al doilea

Scădeți x^{2} din ambele părți.

$$2x-3-x^{2}=3x+5$$

Scădeți 3x din ambele părți.

$$2x-3-x^{2}-3x=5$$

Combinați 2x cu -3x pentru a obține -x.

$$-x-3-x^{2}=5$$

Scădeți 5 din ambele părți.

$$-x-3-x^{2}-5=0$$

Scădeți 5 din -3 pentru a obține -8.

$$-x-8-x^{2}=0$$

Toate ecuațiile de forma ax^{2}+bx+c=0 pot fi rezolvate utilizând formula rădăcinilor ecuației de gradul al doilea: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Formula rădăcinilor ecuației de gradul al doilea oferă două soluții, una atunci când operația ± este de adunare și una atunci când este de scădere.

$$-x^{2}-x-8=0$$

Această ecuație este în formă standard: ax^{2}+bx+c=0. Înlocuiți a cu -1, b cu -1 și c cu -8 în formula rădăcinilor ecuațiilor de gradul al doilea, \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-\left(-1\right)±\sqrt{1-4\left(-1\right)\left(-8\right)}}{2\left(-1\right)}$$

Înmulțiți -4 cu -1.

$$x=\frac{-\left(-1\right)±\sqrt{1+4\left(-8\right)}}{2\left(-1\right)}$$

Înmulțiți 4 cu -8.

$$x=\frac{-\left(-1\right)±\sqrt{1-32}}{2\left(-1\right)}$$

Adunați 1 cu -32.

$$x=\frac{-\left(-1\right)±\sqrt{-31}}{2\left(-1\right)}$$

Aflați rădăcina pătrată pentru -31.

$$x=\frac{-\left(-1\right)±\sqrt{31}i}{2\left(-1\right)}$$

Opusul lui -1 este 1.

$$x=\frac{1±\sqrt{31}i}{2\left(-1\right)}$$

Înmulțiți 2 cu -1.

$$x=\frac{1±\sqrt{31}i}{-2}$$

Acum rezolvați ecuația x=\frac{1±\sqrt{31}i}{-2} atunci când ± este plus. Adunați 1 cu i\sqrt{31}.

$$x=\frac{1+\sqrt{31}i}{-2}$$

Împărțiți 1+i\sqrt{31} la -2.

$$x=\frac{-\sqrt{31}i-1}{2}$$

Acum rezolvați ecuația x=\frac{1±\sqrt{31}i}{-2} atunci când ± este minus. Scădeți i\sqrt{31} din 1.

$$x=\frac{-\sqrt{31}i+1}{-2}$$

Împărțiți 1-i\sqrt{31} la -2.

$$x=\frac{-1+\sqrt{31}i}{2}$$

Ecuația este rezolvată acum.

$$x=\frac{-\sqrt{31}i-1}{2} x=\frac{-1+\sqrt{31}i}{2}$$

Pași pentru completarea pătratului

Scădeți x^{2} din ambele părți.

$$2x-3-x^{2}=3x+5$$

Scădeți 3x din ambele părți.

$$2x-3-x^{2}-3x=5$$

Combinați 2x cu -3x pentru a obține -x.

$$-x-3-x^{2}=5$$

Adăugați 3 la ambele părți.

$$-x-x^{2}=5+3$$

Adunați 5 și 3 pentru a obține 8.

$$-x-x^{2}=8$$

Ecuațiile de gradul doi ca aceasta pot fi rezolvate prin completarea pătratului. Pentru a completa pătratul, ecuația trebuie mai întâi să fie sub forma x^{2}+bx=c.

$$-x^{2}-x=8$$

Se împart ambele părți la -1.

$$\frac{-x^{2}-x}{-1}=\frac{8}{-1}$$

Împărțirea la -1 anulează înmulțirea cu -1.

$$x^{2}+\left(-\frac{1}{-1}\right)x=\frac{8}{-1}$$

Împărțiți -1 la -1.

$$x^{2}+x=\frac{8}{-1}$$

Împărțiți 8 la -1.

$$x^{2}+x=-8$$

Împărțiți 1, coeficientul termenului x, la 2 pentru a obține \frac{1}{2}. Apoi, adunați pătratul lui \frac{1}{2} la ambele părți ale ecuației. Acest pas face din partea stângă a ecuației un pătrat perfect.

$$x^{2}+x+\left(\frac{1}{2}\right)^{2}=-8+\left(\frac{1}{2}\right)^{2}$$

Ridicați \frac{1}{2} la pătrat, calculând pătratul pentru numărătorul și numitorul fracției.

$$x^{2}+x+\frac{1}{4}=-8+\frac{1}{4}$$

Adunați -8 cu \frac{1}{4}.

$$x^{2}+x+\frac{1}{4}=-\frac{31}{4}$$

Factor x^{2}+x+\frac{1}{4}. În general, atunci când x^{2}+bx+c este un pătrat perfect, el poate fi descompus în factori oricând ca \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x+\frac{1}{2}\right)^{2}=-\frac{31}{4}$$

Aflați rădăcina pătrată pentru ambele părți ale ecuației.

$$\sqrt{\left(x+\frac{1}{2}\right)^{2}}=\sqrt{-\frac{31}{4}}$$

Simplificați.

$$x+\frac{1}{2}=\frac{\sqrt{31}i}{2} x+\frac{1}{2}=-\frac{\sqrt{31}i}{2}$$

Scădeți \frac{1}{2} din ambele părți ale ecuației.

$$x=\frac{-1+\sqrt{31}i}{2} x=\frac{-\sqrt{31}i-1}{2}$$