Rezolvați 2x-2x^2=12

$$2x-2 { x }^{ 2 } = 12$$

Rezolvați pentru x (complex solution)

$$x=\frac{1+\sqrt{23}i}{2}\approx 0,5+2,397915762i$$

$$x=\frac{-\sqrt{23}i+1}{2}\approx 0,5-2,397915762i$$

Pași folosind formula rădăcinilor ecuației de gradul al doilea

Toate ecuațiile de forma ax^{2}+bx+c=0 pot fi rezolvate utilizând formula rădăcinilor ecuației de gradul al doilea: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Formula rădăcinilor ecuației de gradul al doilea oferă două soluții, una atunci când operația ± este de adunare și una atunci când este de scădere.

$$-2x^{2}+2x=12$$

Scădeți 12 din ambele părți ale ecuației.

$$-2x^{2}+2x-12=12-12$$

Scăderea 12 din el însuși are ca rezultat 0.

$$-2x^{2}+2x-12=0$$

Această ecuație este în formă standard: ax^{2}+bx+c=0. Înlocuiți a cu -2, b cu 2 și c cu -12 în formula rădăcinilor ecuațiilor de gradul al doilea, \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-2±\sqrt{2^{2}-4\left(-2\right)\left(-12\right)}}{2\left(-2\right)}$$

Ridicați 2 la pătrat.

$$x=\frac{-2±\sqrt{4-4\left(-2\right)\left(-12\right)}}{2\left(-2\right)}$$

Înmulțiți -4 cu -2.

$$x=\frac{-2±\sqrt{4+8\left(-12\right)}}{2\left(-2\right)}$$

Înmulțiți 8 cu -12.

$$x=\frac{-2±\sqrt{4-96}}{2\left(-2\right)}$$

Adunați 4 cu -96.

$$x=\frac{-2±\sqrt{-92}}{2\left(-2\right)}$$

Aflați rădăcina pătrată pentru -92.

$$x=\frac{-2±2\sqrt{23}i}{2\left(-2\right)}$$

Înmulțiți 2 cu -2.

$$x=\frac{-2±2\sqrt{23}i}{-4}$$

Acum rezolvați ecuația x=\frac{-2±2\sqrt{23}i}{-4} atunci când ± este plus. Adunați -2 cu 2i\sqrt{23}.

$$x=\frac{-2+2\sqrt{23}i}{-4}$$

Împărțiți -2+2i\sqrt{23} la -4.

$$x=\frac{-\sqrt{23}i+1}{2}$$

Acum rezolvați ecuația x=\frac{-2±2\sqrt{23}i}{-4} atunci când ± este minus. Scădeți 2i\sqrt{23} din -2.

$$x=\frac{-2\sqrt{23}i-2}{-4}$$

Împărțiți -2-2i\sqrt{23} la -4.

$$x=\frac{1+\sqrt{23}i}{2}$$

Ecuația este rezolvată acum.

$$x=\frac{-\sqrt{23}i+1}{2} x=\frac{1+\sqrt{23}i}{2}$$

Pași pentru completarea pătratului

Ecuațiile de gradul doi ca aceasta pot fi rezolvate prin completarea pătratului. Pentru a completa pătratul, ecuația trebuie mai întâi să fie sub forma x^{2}+bx=c.

$$-2x^{2}+2x=12$$

Se împart ambele părți la -2.

$$\frac{-2x^{2}+2x}{-2}=\frac{12}{-2}$$

Împărțirea la -2 anulează înmulțirea cu -2.

$$x^{2}+\frac{2}{-2}x=\frac{12}{-2}$$

Împărțiți 2 la -2.

$$x^{2}-x=\frac{12}{-2}$$

Împărțiți 12 la -2.

$$x^{2}-x=-6$$

Împărțiți -1, coeficientul termenului x, la 2 pentru a obține -\frac{1}{2}. Apoi, adunați pătratul lui -\frac{1}{2} la ambele părți ale ecuației. Acest pas face din partea stângă a ecuației un pătrat perfect.

$$x^{2}-x+\left(-\frac{1}{2}\right)^{2}=-6+\left(-\frac{1}{2}\right)^{2}$$

Ridicați -\frac{1}{2} la pătrat, calculând pătratul pentru numărătorul și numitorul fracției.

$$x^{2}-x+\frac{1}{4}=-6+\frac{1}{4}$$

Adunați -6 cu \frac{1}{4}.

$$x^{2}-x+\frac{1}{4}=-\frac{23}{4}$$

Factor x^{2}-x+\frac{1}{4}. În general, atunci când x^{2}+bx+c este un pătrat perfect, el poate fi descompus în factori oricând ca \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x-\frac{1}{2}\right)^{2}=-\frac{23}{4}$$

Aflați rădăcina pătrată pentru ambele părți ale ecuației.

$$\sqrt{\left(x-\frac{1}{2}\right)^{2}}=\sqrt{-\frac{23}{4}}$$

Simplificați.

$$x-\frac{1}{2}=\frac{\sqrt{23}i}{2} x-\frac{1}{2}=-\frac{\sqrt{23}i}{2}$$

Adunați \frac{1}{2} la ambele părți ale ecuației.

$$x=\frac{1+\sqrt{23}i}{2} x=\frac{-\sqrt{23}i+1}{2}$$