Rezolvați 2x(91+2-2x)=1080

$$2x(91+2-2x)=1080$$

Rezolvați pentru x

$$x = \frac{3 \sqrt{481} + 93}{4} \approx 39,69878415$$

$$x = \frac{93 - 3 \sqrt{481}}{4} \approx 6,80121585$$

Pași folosind formula rădăcinilor ecuației de gradul al doilea

Adunați 91 și 2 pentru a obține 93.

$$2x\left(93-2x\right)=1080$$

Utilizați proprietatea de distributivitate pentru a înmulți 2x cu 93-2x.

$$186x-4x^{2}=1080$$

Scădeți 1080 din ambele părți.

$$186x-4x^{2}-1080=0$$

Toate ecuațiile de forma ax^{2}+bx+c=0 pot fi rezolvate utilizând formula rădăcinilor ecuației de gradul al doilea: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Formula rădăcinilor ecuației de gradul al doilea oferă două soluții, una atunci când operația ± este de adunare și una atunci când este de scădere.

$$-4x^{2}+186x-1080=0$$

Această ecuație este în formă standard: ax^{2}+bx+c=0. Înlocuiți a cu -4, b cu 186 și c cu -1080 în formula rădăcinilor ecuațiilor de gradul al doilea, \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-186±\sqrt{186^{2}-4\left(-4\right)\left(-1080\right)}}{2\left(-4\right)}$$

Ridicați 186 la pătrat.

$$x=\frac{-186±\sqrt{34596-4\left(-4\right)\left(-1080\right)}}{2\left(-4\right)}$$

Înmulțiți -4 cu -4.

$$x=\frac{-186±\sqrt{34596+16\left(-1080\right)}}{2\left(-4\right)}$$

Înmulțiți 16 cu -1080.

$$x=\frac{-186±\sqrt{34596-17280}}{2\left(-4\right)}$$

Adunați 34596 cu -17280.

$$x=\frac{-186±\sqrt{17316}}{2\left(-4\right)}$$

Aflați rădăcina pătrată pentru 17316.

$$x=\frac{-186±6\sqrt{481}}{2\left(-4\right)}$$

Înmulțiți 2 cu -4.

$$x=\frac{-186±6\sqrt{481}}{-8}$$

Acum rezolvați ecuația x=\frac{-186±6\sqrt{481}}{-8} atunci când ± este plus. Adunați -186 cu 6\sqrt{481}.

$$x=\frac{6\sqrt{481}-186}{-8}$$

Împărțiți -186+6\sqrt{481} la -8.

$$x=\frac{93-3\sqrt{481}}{4}$$

Acum rezolvați ecuația x=\frac{-186±6\sqrt{481}}{-8} atunci când ± este minus. Scădeți 6\sqrt{481} din -186.

$$x=\frac{-6\sqrt{481}-186}{-8}$$

Împărțiți -186-6\sqrt{481} la -8.

$$x=\frac{3\sqrt{481}+93}{4}$$

Ecuația este rezolvată acum.

$$x=\frac{93-3\sqrt{481}}{4} x=\frac{3\sqrt{481}+93}{4}$$

Pași pentru completarea pătratului

Adunați 91 și 2 pentru a obține 93.

$$2x\left(93-2x\right)=1080$$

Utilizați proprietatea de distributivitate pentru a înmulți 2x cu 93-2x.

$$186x-4x^{2}=1080$$

Ecuațiile de gradul doi ca aceasta pot fi rezolvate prin completarea pătratului. Pentru a completa pătratul, ecuația trebuie mai întâi să fie sub forma x^{2}+bx=c.

$$-4x^{2}+186x=1080$$

Se împart ambele părți la -4.

$$\frac{-4x^{2}+186x}{-4}=\frac{1080}{-4}$$

Împărțirea la -4 anulează înmulțirea cu -4.

$$x^{2}+\frac{186}{-4}x=\frac{1080}{-4}$$

Reduceți fracția \frac{186}{-4} la cei mai mici termeni, prin extragerea și reducerea 2.

$$x^{2}-\frac{93}{2}x=\frac{1080}{-4}$$

Împărțiți 1080 la -4.

$$x^{2}-\frac{93}{2}x=-270$$

Împărțiți -\frac{93}{2}, coeficientul termenului x, la 2 pentru a obține -\frac{93}{4}. Apoi, adunați pătratul lui -\frac{93}{4} la ambele părți ale ecuației. Acest pas face din partea stângă a ecuației un pătrat perfect.

$$x^{2}-\frac{93}{2}x+\left(-\frac{93}{4}\right)^{2}=-270+\left(-\frac{93}{4}\right)^{2}$$

Ridicați -\frac{93}{4} la pătrat, calculând pătratul pentru numărătorul și numitorul fracției.

$$x^{2}-\frac{93}{2}x+\frac{8649}{16}=-270+\frac{8649}{16}$$

Adunați -270 cu \frac{8649}{16}.

$$x^{2}-\frac{93}{2}x+\frac{8649}{16}=\frac{4329}{16}$$

Factor x^{2}-\frac{93}{2}x+\frac{8649}{16}. În general, atunci când x^{2}+bx+c este un pătrat perfect, el poate fi descompus în factori oricând ca \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x-\frac{93}{4}\right)^{2}=\frac{4329}{16}$$

Aflați rădăcina pătrată pentru ambele părți ale ecuației.

$$\sqrt{\left(x-\frac{93}{4}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{4329}{16}}$$

Simplificați.

$$x-\frac{93}{4}=\frac{3\sqrt{481}}{4} x-\frac{93}{4}=-\frac{3\sqrt{481}}{4}$$

Adunați \frac{93}{4} la ambele părți ale ecuației.

$$x=\frac{3\sqrt{481}+93}{4} x=\frac{93-3\sqrt{481}}{4}$$