Rezolvați 2x+1=4x^2+4x+5

$$2x+1=4 { x }^{ 2 } +4x+5$$

Rezolvați pentru x (complex solution)

$$x=\frac{-1+\sqrt{15}i}{4}\approx -0,25+0,968245837i$$

$$x=\frac{-\sqrt{15}i-1}{4}\approx -0,25-0,968245837i$$

Pași folosind formula rădăcinilor ecuației de gradul al doilea

Scădeți 4x^{2} din ambele părți.

$$2x+1-4x^{2}=4x+5$$

Scădeți 4x din ambele părți.

$$2x+1-4x^{2}-4x=5$$

Combinați 2x cu -4x pentru a obține -2x.

$$-2x+1-4x^{2}=5$$

Scădeți 5 din ambele părți.

$$-2x+1-4x^{2}-5=0$$

Scădeți 5 din 1 pentru a obține -4.

$$-2x-4-4x^{2}=0$$

Toate ecuațiile de forma ax^{2}+bx+c=0 pot fi rezolvate utilizând formula rădăcinilor ecuației de gradul al doilea: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Formula rădăcinilor ecuației de gradul al doilea oferă două soluții, una atunci când operația ± este de adunare și una atunci când este de scădere.

$$-4x^{2}-2x-4=0$$

Această ecuație este în formă standard: ax^{2}+bx+c=0. Înlocuiți a cu -4, b cu -2 și c cu -4 în formula rădăcinilor ecuațiilor de gradul al doilea, \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-\left(-2\right)±\sqrt{\left(-2\right)^{2}-4\left(-4\right)\left(-4\right)}}{2\left(-4\right)}$$

Ridicați -2 la pătrat.

$$x=\frac{-\left(-2\right)±\sqrt{4-4\left(-4\right)\left(-4\right)}}{2\left(-4\right)}$$

Înmulțiți -4 cu -4.

$$x=\frac{-\left(-2\right)±\sqrt{4+16\left(-4\right)}}{2\left(-4\right)}$$

Înmulțiți 16 cu -4.

$$x=\frac{-\left(-2\right)±\sqrt{4-64}}{2\left(-4\right)}$$

Adunați 4 cu -64.

$$x=\frac{-\left(-2\right)±\sqrt{-60}}{2\left(-4\right)}$$

Aflați rădăcina pătrată pentru -60.

$$x=\frac{-\left(-2\right)±2\sqrt{15}i}{2\left(-4\right)}$$

Opusul lui -2 este 2.

$$x=\frac{2±2\sqrt{15}i}{2\left(-4\right)}$$

Înmulțiți 2 cu -4.

$$x=\frac{2±2\sqrt{15}i}{-8}$$

Acum rezolvați ecuația x=\frac{2±2\sqrt{15}i}{-8} atunci când ± este plus. Adunați 2 cu 2i\sqrt{15}.

$$x=\frac{2+2\sqrt{15}i}{-8}$$

Împărțiți 2+2i\sqrt{15} la -8.

$$x=\frac{-\sqrt{15}i-1}{4}$$

Acum rezolvați ecuația x=\frac{2±2\sqrt{15}i}{-8} atunci când ± este minus. Scădeți 2i\sqrt{15} din 2.

$$x=\frac{-2\sqrt{15}i+2}{-8}$$

Împărțiți 2-2i\sqrt{15} la -8.

$$x=\frac{-1+\sqrt{15}i}{4}$$

Ecuația este rezolvată acum.

$$x=\frac{-\sqrt{15}i-1}{4} x=\frac{-1+\sqrt{15}i}{4}$$

Pași pentru completarea pătratului

Scădeți 4x^{2} din ambele părți.

$$2x+1-4x^{2}=4x+5$$

Scădeți 4x din ambele părți.

$$2x+1-4x^{2}-4x=5$$

Combinați 2x cu -4x pentru a obține -2x.

$$-2x+1-4x^{2}=5$$

Scădeți 1 din ambele părți.

$$-2x-4x^{2}=5-1$$

Scădeți 1 din 5 pentru a obține 4.

$$-2x-4x^{2}=4$$

Ecuațiile de gradul doi ca aceasta pot fi rezolvate prin completarea pătratului. Pentru a completa pătratul, ecuația trebuie mai întâi să fie sub forma x^{2}+bx=c.

$$-4x^{2}-2x=4$$

Se împart ambele părți la -4.

$$\frac{-4x^{2}-2x}{-4}=\frac{4}{-4}$$

Împărțirea la -4 anulează înmulțirea cu -4.

$$x^{2}+\left(-\frac{2}{-4}\right)x=\frac{4}{-4}$$

Reduceți fracția \frac{-2}{-4} la cei mai mici termeni, prin extragerea și reducerea 2.

$$x^{2}+\frac{1}{2}x=\frac{4}{-4}$$

Împărțiți 4 la -4.

$$x^{2}+\frac{1}{2}x=-1$$

Împărțiți \frac{1}{2}, coeficientul termenului x, la 2 pentru a obține \frac{1}{4}. Apoi, adunați pătratul lui \frac{1}{4} la ambele părți ale ecuației. Acest pas face din partea stângă a ecuației un pătrat perfect.

$$x^{2}+\frac{1}{2}x+\left(\frac{1}{4}\right)^{2}=-1+\left(\frac{1}{4}\right)^{2}$$

Ridicați \frac{1}{4} la pătrat, calculând pătratul pentru numărătorul și numitorul fracției.

$$x^{2}+\frac{1}{2}x+\frac{1}{16}=-1+\frac{1}{16}$$

Adunați -1 cu \frac{1}{16}.

$$x^{2}+\frac{1}{2}x+\frac{1}{16}=-\frac{15}{16}$$

Factor x^{2}+\frac{1}{2}x+\frac{1}{16}. În general, atunci când x^{2}+bx+c este un pătrat perfect, el poate fi descompus în factori oricând ca \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x+\frac{1}{4}\right)^{2}=-\frac{15}{16}$$

Aflați rădăcina pătrată pentru ambele părți ale ecuației.

$$\sqrt{\left(x+\frac{1}{4}\right)^{2}}=\sqrt{-\frac{15}{16}}$$

Simplificați.

$$x+\frac{1}{4}=\frac{\sqrt{15}i}{4} x+\frac{1}{4}=-\frac{\sqrt{15}i}{4}$$

Scădeți \frac{1}{4} din ambele părți ale ecuației.

$$x=\frac{-1+\sqrt{15}i}{4} x=\frac{-\sqrt{15}i-1}{4}$$