Rezolvați 29x^2+8x+7=0

$$29 x ^ { 2 } + 8 x + 7 = 0$$

Rezolvați pentru x (complex solution)

$$x=\frac{-4+\sqrt{187}i}{29}\approx -0,137931034+0,471544632i$$

$$x=\frac{-\sqrt{187}i-4}{29}\approx -0,137931034-0,471544632i$$

Pași folosind formula rădăcinilor ecuației de gradul al doilea

Toate ecuațiile de forma ax^{2}+bx+c=0 pot fi rezolvate utilizând formula rădăcinilor ecuației de gradul al doilea: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Formula rădăcinilor ecuației de gradul al doilea oferă două soluții, una atunci când operația ± este de adunare și una atunci când este de scădere.

$$29x^{2}+8x+7=0$$

Această ecuație este în formă standard: ax^{2}+bx+c=0. Înlocuiți a cu 29, b cu 8 și c cu 7 în formula rădăcinilor ecuațiilor de gradul al doilea, \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-8±\sqrt{8^{2}-4\times 29\times 7}}{2\times 29}$$

Ridicați 8 la pătrat.

$$x=\frac{-8±\sqrt{64-4\times 29\times 7}}{2\times 29}$$

Înmulțiți -4 cu 29.

$$x=\frac{-8±\sqrt{64-116\times 7}}{2\times 29}$$

Înmulțiți -116 cu 7.

$$x=\frac{-8±\sqrt{64-812}}{2\times 29}$$

Adunați 64 cu -812.

$$x=\frac{-8±\sqrt{-748}}{2\times 29}$$

Aflați rădăcina pătrată pentru -748.

$$x=\frac{-8±2\sqrt{187}i}{2\times 29}$$

Înmulțiți 2 cu 29.

$$x=\frac{-8±2\sqrt{187}i}{58}$$

Acum rezolvați ecuația x=\frac{-8±2\sqrt{187}i}{58} atunci când ± este plus. Adunați -8 cu 2i\sqrt{187}.

$$x=\frac{-8+2\sqrt{187}i}{58}$$

Împărțiți -8+2i\sqrt{187} la 58.

$$x=\frac{-4+\sqrt{187}i}{29}$$

Acum rezolvați ecuația x=\frac{-8±2\sqrt{187}i}{58} atunci când ± este minus. Scădeți 2i\sqrt{187} din -8.

$$x=\frac{-2\sqrt{187}i-8}{58}$$

Împărțiți -8-2i\sqrt{187} la 58.

$$x=\frac{-\sqrt{187}i-4}{29}$$

Ecuația este rezolvată acum.

$$x=\frac{-4+\sqrt{187}i}{29} x=\frac{-\sqrt{187}i-4}{29}$$

Pași pentru completarea pătratului

Ecuațiile de gradul doi ca aceasta pot fi rezolvate prin completarea pătratului. Pentru a completa pătratul, ecuația trebuie mai întâi să fie sub forma x^{2}+bx=c.

$$29x^{2}+8x+7=0$$

Scădeți 7 din ambele părți ale ecuației.

$$29x^{2}+8x+7-7=-7$$

Scăderea 7 din el însuși are ca rezultat 0.

$$29x^{2}+8x=-7$$

Se împart ambele părți la 29.

$$\frac{29x^{2}+8x}{29}=-\frac{7}{29}$$

Împărțirea la 29 anulează înmulțirea cu 29.

$$x^{2}+\frac{8}{29}x=-\frac{7}{29}$$

Împărțiți \frac{8}{29}, coeficientul termenului x, la 2 pentru a obține \frac{4}{29}. Apoi, adunați pătratul lui \frac{4}{29} la ambele părți ale ecuației. Acest pas face din partea stângă a ecuației un pătrat perfect.

$$x^{2}+\frac{8}{29}x+\left(\frac{4}{29}\right)^{2}=-\frac{7}{29}+\left(\frac{4}{29}\right)^{2}$$

Ridicați \frac{4}{29} la pătrat, calculând pătratul pentru numărătorul și numitorul fracției.

$$x^{2}+\frac{8}{29}x+\frac{16}{841}=-\frac{7}{29}+\frac{16}{841}$$

Adunați -\frac{7}{29} cu \frac{16}{841} găsind un numitor comun și adunând numărătorii. Apoi simplificați fracția până devine ireductibilă, dacă este posibil.

$$x^{2}+\frac{8}{29}x+\frac{16}{841}=-\frac{187}{841}$$

Factor x^{2}+\frac{8}{29}x+\frac{16}{841}. În general, atunci când x^{2}+bx+c este un pătrat perfect, el poate fi descompus în factori oricând ca \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x+\frac{4}{29}\right)^{2}=-\frac{187}{841}$$

Aflați rădăcina pătrată pentru ambele părți ale ecuației.

$$\sqrt{\left(x+\frac{4}{29}\right)^{2}}=\sqrt{-\frac{187}{841}}$$

Simplificați.

$$x+\frac{4}{29}=\frac{\sqrt{187}i}{29} x+\frac{4}{29}=-\frac{\sqrt{187}i}{29}$$

Scădeți \frac{4}{29} din ambele părți ale ecuației.

$$x=\frac{-4+\sqrt{187}i}{29} x=\frac{-\sqrt{187}i-4}{29}$$