Rezolvați 28k^2+k-2=0

$$28 k ^ { 2 } + k - 2 = 0$$

Rezolvați pentru k

$$k=\frac{1}{4}=0,25$$

$$k=-\frac{2}{7}\approx -0,285714286$$

Pași utilizând descompunerea în factori prin grupare

Pentru a rezolva ecuația, factor mâna stângă după grupare. Mai întâi, fața la stânga trebuie să fie rescrisă ca 28k^{2}+ak+bk-2. Pentru a găsi a și b, configurați un sistem pentru a fi rezolvat.

$$a+b=1 ab=28\left(-2\right)=-56$$

Deoarece ab este negativ, a și b au semne opuse. Deoarece a+b este pozitiv, numărul pozitiv are o valoare absolută mai mare decât valoarea negativă. Listează toate perechi de valori întregi care oferă produse -56.

$$-1,56 -2,28 -4,14 -7,8$$

Calculați suma pentru fiecare pereche.

$$-1+56=55 -2+28=26 -4+14=10 -7+8=1$$

Soluția este perechea care dă suma de 1.

$$a=-7 b=8$$

Rescrieți 28k^{2}+k-2 ca \left(28k^{2}-7k\right)+\left(8k-2\right).

$$\left(28k^{2}-7k\right)+\left(8k-2\right)$$

Factor 7k în primul și 2 în al doilea grup.

$$7k\left(4k-1\right)+2\left(4k-1\right)$$

Scoateți termenul comun 4k-1 prin utilizarea proprietății de distributivitate.

$$\left(4k-1\right)\left(7k+2\right)$$

Pentru a găsi soluții de ecuații, rezolvați 4k-1=0 și 7k+2=0.

$$k=\frac{1}{4} k=-\frac{2}{7}$$

Pași folosind formula rădăcinilor ecuației de gradul al doilea

Toate ecuațiile de forma ax^{2}+bx+c=0 pot fi rezolvate utilizând formula rădăcinilor ecuației de gradul al doilea: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Formula rădăcinilor ecuației de gradul al doilea oferă două soluții, una atunci când operația ± este de adunare și una atunci când este de scădere.

$$28k^{2}+k-2=0$$

Această ecuație este în formă standard: ax^{2}+bx+c=0. Înlocuiți a cu 28, b cu 1 și c cu -2 în formula rădăcinilor ecuațiilor de gradul al doilea, \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$k=\frac{-1±\sqrt{1^{2}-4\times 28\left(-2\right)}}{2\times 28}$$

Ridicați 1 la pătrat.

$$k=\frac{-1±\sqrt{1-4\times 28\left(-2\right)}}{2\times 28}$$

Înmulțiți -4 cu 28.

$$k=\frac{-1±\sqrt{1-112\left(-2\right)}}{2\times 28}$$

Înmulțiți -112 cu -2.

$$k=\frac{-1±\sqrt{1+224}}{2\times 28}$$

Adunați 1 cu 224.

$$k=\frac{-1±\sqrt{225}}{2\times 28}$$

Aflați rădăcina pătrată pentru 225.

$$k=\frac{-1±15}{2\times 28}$$

Înmulțiți 2 cu 28.

$$k=\frac{-1±15}{56}$$

Acum rezolvați ecuația k=\frac{-1±15}{56} atunci când ± este plus. Adunați -1 cu 15.

$$k=\frac{14}{56}$$

Reduceți fracția \frac{14}{56} la cei mai mici termeni, prin extragerea și reducerea 14.

$$k=\frac{1}{4}$$

Acum rezolvați ecuația k=\frac{-1±15}{56} atunci când ± este minus. Scădeți 15 din -1.

$$k=-\frac{16}{56}$$

Reduceți fracția \frac{-16}{56} la cei mai mici termeni, prin extragerea și reducerea 8.

$$k=-\frac{2}{7}$$

Ecuația este rezolvată acum.

$$k=\frac{1}{4} k=-\frac{2}{7}$$

Pași pentru completarea pătratului

Ecuațiile de gradul doi ca aceasta pot fi rezolvate prin completarea pătratului. Pentru a completa pătratul, ecuația trebuie mai întâi să fie sub forma x^{2}+bx=c.

$$28k^{2}+k-2=0$$

Adunați 2 la ambele părți ale ecuației.

$$28k^{2}+k-2-\left(-2\right)=-\left(-2\right)$$

Scăderea -2 din el însuși are ca rezultat 0.

$$28k^{2}+k=-\left(-2\right)$$

Scădeți -2 din 0.

$$28k^{2}+k=2$$

Se împart ambele părți la 28.

$$\frac{28k^{2}+k}{28}=\frac{2}{28}$$

Împărțirea la 28 anulează înmulțirea cu 28.

$$k^{2}+\frac{1}{28}k=\frac{2}{28}$$

Reduceți fracția \frac{2}{28} la cei mai mici termeni, prin extragerea și reducerea 2.

$$k^{2}+\frac{1}{28}k=\frac{1}{14}$$

Împărțiți \frac{1}{28}, coeficientul termenului x, la 2 pentru a obține \frac{1}{56}. Apoi, adunați pătratul lui \frac{1}{56} la ambele părți ale ecuației. Acest pas face din partea stângă a ecuației un pătrat perfect.

$$k^{2}+\frac{1}{28}k+\left(\frac{1}{56}\right)^{2}=\frac{1}{14}+\left(\frac{1}{56}\right)^{2}$$

Ridicați \frac{1}{56} la pătrat, calculând pătratul pentru numărătorul și numitorul fracției.

$$k^{2}+\frac{1}{28}k+\frac{1}{3136}=\frac{1}{14}+\frac{1}{3136}$$

Adunați \frac{1}{14} cu \frac{1}{3136} găsind un numitor comun și adunând numărătorii. Apoi simplificați fracția până devine ireductibilă, dacă este posibil.

$$k^{2}+\frac{1}{28}k+\frac{1}{3136}=\frac{225}{3136}$$

Factor k^{2}+\frac{1}{28}k+\frac{1}{3136}. În general, atunci când x^{2}+bx+c este un pătrat perfect, el poate fi descompus în factori oricând ca \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(k+\frac{1}{56}\right)^{2}=\frac{225}{3136}$$

Aflați rădăcina pătrată pentru ambele părți ale ecuației.

$$\sqrt{\left(k+\frac{1}{56}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{225}{3136}}$$

Simplificați.

$$k+\frac{1}{56}=\frac{15}{56} k+\frac{1}{56}=-\frac{15}{56}$$

Scădeți \frac{1}{56} din ambele părți ale ecuației.

$$k=\frac{1}{4} k=-\frac{2}{7}$$