Rezolvați 28k^2+k+1=0

$$28 k ^ { 2 } + k + 1 = 0$$

Rezolvați pentru k

$$k=\frac{-1+\sqrt{111}i}{56}\approx -0,017857143+0,188136674i$$

$$k=\frac{-\sqrt{111}i-1}{56}\approx -0,017857143-0,188136674i$$

Pași folosind formula rădăcinilor ecuației de gradul al doilea

Toate ecuațiile de forma ax^{2}+bx+c=0 pot fi rezolvate utilizând formula rădăcinilor ecuației de gradul al doilea: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Formula rădăcinilor ecuației de gradul al doilea oferă două soluții, una atunci când operația ± este de adunare și una atunci când este de scădere.

$$28k^{2}+k+1=0$$

Această ecuație este în formă standard: ax^{2}+bx+c=0. Înlocuiți a cu 28, b cu 1 și c cu 1 în formula rădăcinilor ecuațiilor de gradul al doilea, \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$k=\frac{-1±\sqrt{1^{2}-4\times 28}}{2\times 28}$$

Ridicați 1 la pătrat.

$$k=\frac{-1±\sqrt{1-4\times 28}}{2\times 28}$$

Înmulțiți -4 cu 28.

$$k=\frac{-1±\sqrt{1-112}}{2\times 28}$$

Adunați 1 cu -112.

$$k=\frac{-1±\sqrt{-111}}{2\times 28}$$

Aflați rădăcina pătrată pentru -111.

$$k=\frac{-1±\sqrt{111}i}{2\times 28}$$

Înmulțiți 2 cu 28.

$$k=\frac{-1±\sqrt{111}i}{56}$$

Acum rezolvați ecuația k=\frac{-1±\sqrt{111}i}{56} atunci când ± este plus. Adunați -1 cu i\sqrt{111}.

$$k=\frac{-1+\sqrt{111}i}{56}$$

Acum rezolvați ecuația k=\frac{-1±\sqrt{111}i}{56} atunci când ± este minus. Scădeți i\sqrt{111} din -1.

$$k=\frac{-\sqrt{111}i-1}{56}$$

Ecuația este rezolvată acum.

$$k=\frac{-1+\sqrt{111}i}{56} k=\frac{-\sqrt{111}i-1}{56}$$

Pași pentru completarea pătratului

Ecuațiile de gradul doi ca aceasta pot fi rezolvate prin completarea pătratului. Pentru a completa pătratul, ecuația trebuie mai întâi să fie sub forma x^{2}+bx=c.

$$28k^{2}+k+1=0$$

Scădeți 1 din ambele părți ale ecuației.

$$28k^{2}+k+1-1=-1$$

Scăderea 1 din el însuși are ca rezultat 0.

$$28k^{2}+k=-1$$

Se împart ambele părți la 28.

$$\frac{28k^{2}+k}{28}=-\frac{1}{28}$$

Împărțirea la 28 anulează înmulțirea cu 28.

$$k^{2}+\frac{1}{28}k=-\frac{1}{28}$$

Împărțiți \frac{1}{28}, coeficientul termenului x, la 2 pentru a obține \frac{1}{56}. Apoi, adunați pătratul lui \frac{1}{56} la ambele părți ale ecuației. Acest pas face din partea stângă a ecuației un pătrat perfect.

$$k^{2}+\frac{1}{28}k+\left(\frac{1}{56}\right)^{2}=-\frac{1}{28}+\left(\frac{1}{56}\right)^{2}$$

Ridicați \frac{1}{56} la pătrat, calculând pătratul pentru numărătorul și numitorul fracției.

$$k^{2}+\frac{1}{28}k+\frac{1}{3136}=-\frac{1}{28}+\frac{1}{3136}$$

Adunați -\frac{1}{28} cu \frac{1}{3136} găsind un numitor comun și adunând numărătorii. Apoi simplificați fracția până devine ireductibilă, dacă este posibil.

$$k^{2}+\frac{1}{28}k+\frac{1}{3136}=-\frac{111}{3136}$$

Factor k^{2}+\frac{1}{28}k+\frac{1}{3136}. În general, atunci când x^{2}+bx+c este un pătrat perfect, el poate fi descompus în factori oricând ca \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(k+\frac{1}{56}\right)^{2}=-\frac{111}{3136}$$

Aflați rădăcina pătrată pentru ambele părți ale ecuației.

$$\sqrt{\left(k+\frac{1}{56}\right)^{2}}=\sqrt{-\frac{111}{3136}}$$

Simplificați.

$$k+\frac{1}{56}=\frac{\sqrt{111}i}{56} k+\frac{1}{56}=-\frac{\sqrt{111}i}{56}$$

Scădeți \frac{1}{56} din ambele părți ale ecuației.

$$k=\frac{-1+\sqrt{111}i}{56} k=\frac{-\sqrt{111}i-1}{56}$$