Rezolvați 27=22t-5t^2

$$27 = 22 t - 5 t ^ { 2 }$$

Rezolvați pentru t

$$t=\frac{11+\sqrt{14}i}{5}\approx 2,2+0,748331477i$$

$$t=\frac{-\sqrt{14}i+11}{5}\approx 2,2-0,748331477i$$

Pași folosind formula rădăcinilor ecuației de gradul al doilea

Interschimbați părțile, astfel încât toți termenii variabili să fie pe partea stângă.

$$22t-5t^{2}=27$$

Scădeți 27 din ambele părți.

$$22t-5t^{2}-27=0$$

Toate ecuațiile de forma ax^{2}+bx+c=0 pot fi rezolvate utilizând formula rădăcinilor ecuației de gradul al doilea: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Formula rădăcinilor ecuației de gradul al doilea oferă două soluții, una atunci când operația ± este de adunare și una atunci când este de scădere.

$$-5t^{2}+22t-27=0$$

Această ecuație este în formă standard: ax^{2}+bx+c=0. Înlocuiți a cu -5, b cu 22 și c cu -27 în formula rădăcinilor ecuațiilor de gradul al doilea, \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$t=\frac{-22±\sqrt{22^{2}-4\left(-5\right)\left(-27\right)}}{2\left(-5\right)}$$

Ridicați 22 la pătrat.

$$t=\frac{-22±\sqrt{484-4\left(-5\right)\left(-27\right)}}{2\left(-5\right)}$$

Înmulțiți -4 cu -5.

$$t=\frac{-22±\sqrt{484+20\left(-27\right)}}{2\left(-5\right)}$$

Înmulțiți 20 cu -27.

$$t=\frac{-22±\sqrt{484-540}}{2\left(-5\right)}$$

Adunați 484 cu -540.

$$t=\frac{-22±\sqrt{-56}}{2\left(-5\right)}$$

Aflați rădăcina pătrată pentru -56.

$$t=\frac{-22±2\sqrt{14}i}{2\left(-5\right)}$$

Înmulțiți 2 cu -5.

$$t=\frac{-22±2\sqrt{14}i}{-10}$$

Acum rezolvați ecuația t=\frac{-22±2\sqrt{14}i}{-10} atunci când ± este plus. Adunați -22 cu 2i\sqrt{14}.

$$t=\frac{-22+2\sqrt{14}i}{-10}$$

Împărțiți -22+2i\sqrt{14} la -10.

$$t=\frac{-\sqrt{14}i+11}{5}$$

Acum rezolvați ecuația t=\frac{-22±2\sqrt{14}i}{-10} atunci când ± este minus. Scădeți 2i\sqrt{14} din -22.

$$t=\frac{-2\sqrt{14}i-22}{-10}$$

Împărțiți -22-2i\sqrt{14} la -10.

$$t=\frac{11+\sqrt{14}i}{5}$$

Ecuația este rezolvată acum.

$$t=\frac{-\sqrt{14}i+11}{5} t=\frac{11+\sqrt{14}i}{5}$$

Pași pentru completarea pătratului

Interschimbați părțile, astfel încât toți termenii variabili să fie pe partea stângă.

$$22t-5t^{2}=27$$

Ecuațiile de gradul doi ca aceasta pot fi rezolvate prin completarea pătratului. Pentru a completa pătratul, ecuația trebuie mai întâi să fie sub forma x^{2}+bx=c.

$$-5t^{2}+22t=27$$

Se împart ambele părți la -5.

$$\frac{-5t^{2}+22t}{-5}=\frac{27}{-5}$$

Împărțirea la -5 anulează înmulțirea cu -5.

$$t^{2}+\frac{22}{-5}t=\frac{27}{-5}$$

Împărțiți 22 la -5.

$$t^{2}-\frac{22}{5}t=\frac{27}{-5}$$

Împărțiți 27 la -5.

$$t^{2}-\frac{22}{5}t=-\frac{27}{5}$$

Împărțiți -\frac{22}{5}, coeficientul termenului x, la 2 pentru a obține -\frac{11}{5}. Apoi, adunați pătratul lui -\frac{11}{5} la ambele părți ale ecuației. Acest pas face din partea stângă a ecuației un pătrat perfect.

$$t^{2}-\frac{22}{5}t+\left(-\frac{11}{5}\right)^{2}=-\frac{27}{5}+\left(-\frac{11}{5}\right)^{2}$$

Ridicați -\frac{11}{5} la pătrat, calculând pătratul pentru numărătorul și numitorul fracției.

$$t^{2}-\frac{22}{5}t+\frac{121}{25}=-\frac{27}{5}+\frac{121}{25}$$

Adunați -\frac{27}{5} cu \frac{121}{25} găsind un numitor comun și adunând numărătorii. Apoi simplificați fracția până devine ireductibilă, dacă este posibil.

$$t^{2}-\frac{22}{5}t+\frac{121}{25}=-\frac{14}{25}$$

Factor t^{2}-\frac{22}{5}t+\frac{121}{25}. În general, atunci când x^{2}+bx+c este un pătrat perfect, el poate fi descompus în factori oricând ca \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(t-\frac{11}{5}\right)^{2}=-\frac{14}{25}$$

Aflați rădăcina pătrată pentru ambele părți ale ecuației.

$$\sqrt{\left(t-\frac{11}{5}\right)^{2}}=\sqrt{-\frac{14}{25}}$$

Simplificați.

$$t-\frac{11}{5}=\frac{\sqrt{14}i}{5} t-\frac{11}{5}=-\frac{\sqrt{14}i}{5}$$

Adunați \frac{11}{5} la ambele părți ale ecuației.

$$t=\frac{11+\sqrt{14}i}{5} t=\frac{-\sqrt{14}i+11}{5}$$