Rezolvați 26^2=x^2+(x+14)^2

$$26 ^ { 2 } = x ^ { 2 } + ( x + 14 ) ^ { 2 }$$

Rezolvați pentru x

$$x=-24$$

$$x=10$$

Pași utilizând descompunerea în factori prin grupare

Calculați 26 la puterea 2 și obțineți 676.

$$676=x^{2}+\left(x+14\right)^{2}$$

Utilizați binomul lui Newton \left(a+b\right)^{2}=a^{2}+2ab+b^{2} pentru a extinde \left(x+14\right)^{2}.

$$676=x^{2}+x^{2}+28x+196$$

Combinați x^{2} cu x^{2} pentru a obține 2x^{2}.

$$676=2x^{2}+28x+196$$

Interschimbați părțile, astfel încât toți termenii variabili să fie pe partea stângă.

$$2x^{2}+28x+196=676$$

Scădeți 676 din ambele părți.

$$2x^{2}+28x+196-676=0$$

Scădeți 676 din 196 pentru a obține -480.

$$2x^{2}+28x-480=0$$

Se împart ambele părți la 2.

$$x^{2}+14x-240=0$$

Pentru a rezolva ecuația, factor mâna stângă după grupare. Mai întâi, fața la stânga trebuie să fie rescrisă ca x^{2}+ax+bx-240. Pentru a găsi a și b, configurați un sistem pentru a fi rezolvat.

$$a+b=14 ab=1\left(-240\right)=-240$$

Deoarece ab este negativ, a și b au semne opuse. Deoarece a+b este pozitiv, numărul pozitiv are o valoare absolută mai mare decât valoarea negativă. Listează toate perechi de valori întregi care oferă produse -240.

$$-1,240 -2,120 -3,80 -4,60 -5,48 -6,40 -8,30 -10,24 -12,20 -15,16$$

Calculați suma pentru fiecare pereche.

$$-1+240=239 -2+120=118 -3+80=77 -4+60=56 -5+48=43 -6+40=34 -8+30=22 -10+24=14 -12+20=8 -15+16=1$$

Soluția este perechea care dă suma de 14.

$$a=-10 b=24$$

Rescrieți x^{2}+14x-240 ca \left(x^{2}-10x\right)+\left(24x-240\right).

$$\left(x^{2}-10x\right)+\left(24x-240\right)$$

Factor x în primul și 24 în al doilea grup.

$$x\left(x-10\right)+24\left(x-10\right)$$

Scoateți termenul comun x-10 prin utilizarea proprietății de distributivitate.

$$\left(x-10\right)\left(x+24\right)$$

Pentru a găsi soluții de ecuații, rezolvați x-10=0 și x+24=0.

$$x=10 x=-24$$

Pași folosind formula rădăcinilor ecuației de gradul al doilea

Calculați 26 la puterea 2 și obțineți 676.

$$676=x^{2}+\left(x+14\right)^{2}$$

Utilizați binomul lui Newton \left(a+b\right)^{2}=a^{2}+2ab+b^{2} pentru a extinde \left(x+14\right)^{2}.

$$676=x^{2}+x^{2}+28x+196$$

Combinați x^{2} cu x^{2} pentru a obține 2x^{2}.

$$676=2x^{2}+28x+196$$

Interschimbați părțile, astfel încât toți termenii variabili să fie pe partea stângă.

$$2x^{2}+28x+196=676$$

Scădeți 676 din ambele părți.

$$2x^{2}+28x+196-676=0$$

Scădeți 676 din 196 pentru a obține -480.

$$2x^{2}+28x-480=0$$

Această ecuație este în formă standard: ax^{2}+bx+c=0. Înlocuiți a cu 2, b cu 28 și c cu -480 în formula rădăcinilor ecuațiilor de gradul al doilea, \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-28±\sqrt{28^{2}-4\times 2\left(-480\right)}}{2\times 2}$$

Ridicați 28 la pătrat.

$$x=\frac{-28±\sqrt{784-4\times 2\left(-480\right)}}{2\times 2}$$

Înmulțiți -4 cu 2.

$$x=\frac{-28±\sqrt{784-8\left(-480\right)}}{2\times 2}$$

Înmulțiți -8 cu -480.

$$x=\frac{-28±\sqrt{784+3840}}{2\times 2}$$

Adunați 784 cu 3840.

$$x=\frac{-28±\sqrt{4624}}{2\times 2}$$

Aflați rădăcina pătrată pentru 4624.

$$x=\frac{-28±68}{2\times 2}$$

Înmulțiți 2 cu 2.

$$x=\frac{-28±68}{4}$$

Acum rezolvați ecuația x=\frac{-28±68}{4} atunci când ± este plus. Adunați -28 cu 68.

$$x=\frac{40}{4}$$

Împărțiți 40 la 4.

$$x=10$$

Acum rezolvați ecuația x=\frac{-28±68}{4} atunci când ± este minus. Scădeți 68 din -28.

$$x=-\frac{96}{4}$$

Împărțiți -96 la 4.

$$x=-24$$

Ecuația este rezolvată acum.

$$x=10 x=-24$$

Pași pentru completarea pătratului

Calculați 26 la puterea 2 și obțineți 676.

$$676=x^{2}+\left(x+14\right)^{2}$$

Utilizați binomul lui Newton \left(a+b\right)^{2}=a^{2}+2ab+b^{2} pentru a extinde \left(x+14\right)^{2}.

$$676=x^{2}+x^{2}+28x+196$$

Combinați x^{2} cu x^{2} pentru a obține 2x^{2}.

$$676=2x^{2}+28x+196$$

Interschimbați părțile, astfel încât toți termenii variabili să fie pe partea stângă.

$$2x^{2}+28x+196=676$$

Scădeți 196 din ambele părți.

$$2x^{2}+28x=676-196$$

Scădeți 196 din 676 pentru a obține 480.

$$2x^{2}+28x=480$$

Se împart ambele părți la 2.

$$\frac{2x^{2}+28x}{2}=\frac{480}{2}$$

Împărțirea la 2 anulează înmulțirea cu 2.

$$x^{2}+\frac{28}{2}x=\frac{480}{2}$$

Împărțiți 28 la 2.

$$x^{2}+14x=\frac{480}{2}$$

Împărțiți 480 la 2.

$$x^{2}+14x=240$$

Împărțiți 14, coeficientul termenului x, la 2 pentru a obține 7. Apoi, adunați pătratul lui 7 la ambele părți ale ecuației. Acest pas face din partea stângă a ecuației un pătrat perfect.

$$x^{2}+14x+7^{2}=240+7^{2}$$

Ridicați 7 la pătrat.

$$x^{2}+14x+49=240+49$$

Adunați 240 cu 49.

$$x^{2}+14x+49=289$$

Factor x^{2}+14x+49. În general, atunci când x^{2}+bx+c este un pătrat perfect, el poate fi descompus în factori oricând ca \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x+7\right)^{2}=289$$

Aflați rădăcina pătrată pentru ambele părți ale ecuației.

$$\sqrt{\left(x+7\right)^{2}}=\sqrt{289}$$

Simplificați.

$$x+7=17 x+7=-17$$

Scădeți 7 din ambele părți ale ecuației.

$$x=10 x=-24$$