Rezolvați 256x^2-32x+1=0

$$256 { x }^{ 2 } -32x+1 = 0$$

Rezolvați pentru x

$$x=\frac{1}{16}=0.0625$$

Pași utilizând descompunerea în factori prin grupare

Pentru a rezolva ecuația, descompuneți în factori partea stângă prin grupare. În primul rând, partea stângă trebuie să fie rescrisă ca 256x^{2}+ax+bx+1. Pentru a găsi a și b, configurați un sistem care să fie rezolvat.

$$a+b=-32 ab=256\times 1=256$$

Deoarece ab este pozitiv, a și b au același semn. Deoarece a+b este negativ, a și b sunt ambele negative. Enumerați toate perechile întregi care oferă 256 de produs.

$$-1,-256 -2,-128 -4,-64 -8,-32 -16,-16$$

Calculați suma pentru fiecare pereche.

$$-1-256=-257 -2-128=-130 -4-64=-68 -8-32=-40 -16-16=-32$$

Soluția este perechea care dă suma de -32.

$$a=-16 b=-16$$

Rescrieți 256x^{2}-32x+1 ca \left(256x^{2}-16x\right)+\left(-16x+1\right).

$$\left(256x^{2}-16x\right)+\left(-16x+1\right)$$

Scoateți scoateți factorul 16x din primul și -1 din cel de-al doilea grup.

$$16x\left(16x-1\right)-\left(16x-1\right)$$

Scoateți termenul comun 16x-1 prin utilizarea proprietății de distributivitate.

$$\left(16x-1\right)\left(16x-1\right)$$

Rescrieți ca binom pătrat.

$$\left(16x-1\right)^{2}$$

Pentru a găsi soluția ecuației, rezolvați 16x-1=0.

$$x=\frac{1}{16}$$

Pași folosind formula rădăcinilor ecuației de gradul al doilea

Toate ecuațiile de forma ax^{2}+bx+c=0 pot fi rezolvate utilizând formula rădăcinilor ecuației de gradul al doilea: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Formula rădăcinilor ecuației de gradul al doilea oferă două soluții, una atunci când operația ± este de adunare și una atunci când este de scădere.

$$256x^{2}-32x+1=0$$

Această ecuație este în formă standard: ax^{2}+bx+c=0. Înlocuiți a cu 256, b cu -32 și c cu 1 în formula rădăcinilor ecuațiilor de gradul al doilea, \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-\left(-32\right)±\sqrt{\left(-32\right)^{2}-4\times 256}}{2\times 256}$$

Ridicați -32 la pătrat.

$$x=\frac{-\left(-32\right)±\sqrt{1024-4\times 256}}{2\times 256}$$

Înmulțiți -4 cu 256.

$$x=\frac{-\left(-32\right)±\sqrt{1024-1024}}{2\times 256}$$

Adunați 1024 cu -1024.

$$x=\frac{-\left(-32\right)±\sqrt{0}}{2\times 256}$$

Aflați rădăcina pătrată pentru 0.

$$x=-\frac{-32}{2\times 256}$$

Opusul lui -32 este 32.

$$x=\frac{32}{2\times 256}$$

Înmulțiți 2 cu 256.

$$x=\frac{32}{512}$$

Reduceți fracția \frac{32}{512} la cei mai mici termeni, prin extragerea și reducerea 32.

$$x=\frac{1}{16}$$

Pași pentru completarea pătratului

Ecuațiile de gradul doi ca aceasta pot fi rezolvate prin completarea pătratului. Pentru a completa pătratul, ecuația trebuie mai întâi să fie sub forma x^{2}+bx=c.

$$256x^{2}-32x+1=0$$

Scădeți 1 din ambele părți ale ecuației.

$$256x^{2}-32x+1-1=-1$$

Scăderea 1 din el însuși are ca rezultat 0.

$$256x^{2}-32x=-1$$

Se împart ambele părți la 256.

$$\frac{256x^{2}-32x}{256}=-\frac{1}{256}$$

Împărțirea la 256 anulează înmulțirea cu 256.

$$x^{2}+\left(-\frac{32}{256}\right)x=-\frac{1}{256}$$

Reduceți fracția \frac{-32}{256} la cei mai mici termeni, prin extragerea și reducerea 32.

$$x^{2}-\frac{1}{8}x=-\frac{1}{256}$$

Împărțiți -\frac{1}{8}, coeficientul termenului x, la 2 pentru a obține -\frac{1}{16}. Apoi, adunați pătratul lui -\frac{1}{16} la ambele părți ale ecuației. Acest pas face din partea stângă a ecuației un pătrat perfect.

$$x^{2}-\frac{1}{8}x+\left(-\frac{1}{16}\right)^{2}=-\frac{1}{256}+\left(-\frac{1}{16}\right)^{2}$$

Ridicați -\frac{1}{16} la pătrat, calculând pătratul pentru numărătorul și numitorul fracției.

$$x^{2}-\frac{1}{8}x+\frac{1}{256}=\frac{-1+1}{256}$$

Adunați -\frac{1}{256} cu \frac{1}{256} găsind un numitor comun și adunând numărătorii. Apoi simplificați fracția până devine ireductibilă, dacă este posibil.

$$x^{2}-\frac{1}{8}x+\frac{1}{256}=0$$

Factorul x^{2}-\frac{1}{8}x+\frac{1}{256}. În general, când x^{2}+bx+c este un pătrat perfect, acesta poate fi descompus întotdeauna în factori ca \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x-\frac{1}{16}\right)^{2}=0$$

Aflați rădăcina pătrată pentru ambele părți ale ecuației.

$$\sqrt{\left(x-\frac{1}{16}\right)^{2}}=\sqrt{0}$$

Simplificați.

$$x-\frac{1}{16}=0 x-\frac{1}{16}=0$$

Adunați \frac{1}{16} la ambele părți ale ecuației.

$$x=\frac{1}{16} x=\frac{1}{16}$$

Ecuația este rezolvată acum. Soluțiile sunt la fel.

$$x=\frac{1}{16}$$