Rezolvați 25y^2+90y+81=0

$$25 y ^ { 2 } + 90 y + 81 = 0$$

Rezolvați pentru y

$$y = -\frac{9}{5} = -1\frac{4}{5} = -1,8$$

Pași folosind formula rădăcinilor ecuației de gradul al doilea

Toate ecuațiile de forma ax^{2}+bx+c=0 pot fi rezolvate utilizând formula rădăcinilor ecuației de gradul al doilea: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Formula rădăcinilor ecuației de gradul al doilea oferă două soluții, una atunci când operația ± este de adunare și una atunci când este de scădere.

$$25y^{2}+90y+81=0$$

Această ecuație este în formă standard: ax^{2}+bx+c=0. Înlocuiți a cu 25, b cu 90 și c cu 81 în formula rădăcinilor ecuațiilor de gradul al doilea, \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$y=\frac{-90±\sqrt{90^{2}-4\times 25\times 81}}{2\times 25}$$

Ridicați 90 la pătrat.

$$y=\frac{-90±\sqrt{8100-4\times 25\times 81}}{2\times 25}$$

Înmulțiți -4 cu 25.

$$y=\frac{-90±\sqrt{8100-100\times 81}}{2\times 25}$$

Înmulțiți -100 cu 81.

$$y=\frac{-90±\sqrt{8100-8100}}{2\times 25}$$

Adunați 8100 cu -8100.

$$y=\frac{-90±\sqrt{0}}{2\times 25}$$

Aflați rădăcina pătrată pentru 0.

$$y=-\frac{90}{2\times 25}$$

Înmulțiți 2 cu 25.

$$y=-\frac{90}{50}$$

Reduceți fracția \frac{-90}{50} la cei mai mici termeni, prin extragerea și reducerea 10.

$$y=-\frac{9}{5}$$

Pași pentru completarea pătratului

Ecuațiile de gradul doi ca aceasta pot fi rezolvate prin completarea pătratului. Pentru a completa pătratul, ecuația trebuie mai întâi să fie sub forma x^{2}+bx=c.

$$25y^{2}+90y+81=0$$

Scădeți 81 din ambele părți ale ecuației.

$$25y^{2}+90y+81-81=-81$$

Scăderea 81 din el însuși are ca rezultat 0.

$$25y^{2}+90y=-81$$

Se împart ambele părți la 25.

$$\frac{25y^{2}+90y}{25}=-\frac{81}{25}$$

Împărțirea la 25 anulează înmulțirea cu 25.

$$y^{2}+\frac{90}{25}y=-\frac{81}{25}$$

Reduceți fracția \frac{90}{25} la cei mai mici termeni, prin extragerea și reducerea 5.

$$y^{2}+\frac{18}{5}y=-\frac{81}{25}$$

Împărțiți \frac{18}{5}, coeficientul termenului x, la 2 pentru a obține \frac{9}{5}. Apoi, adunați pătratul lui \frac{9}{5} la ambele părți ale ecuației. Acest pas face din partea stângă a ecuației un pătrat perfect.

$$y^{2}+\frac{18}{5}y+\left(\frac{9}{5}\right)^{2}=-\frac{81}{25}+\left(\frac{9}{5}\right)^{2}$$

Ridicați \frac{9}{5} la pătrat, calculând pătratul pentru numărătorul și numitorul fracției.

$$y^{2}+\frac{18}{5}y+\frac{81}{25}=\frac{-81+81}{25}$$

Adunați -\frac{81}{25} cu \frac{81}{25} găsind un numitor comun și adunând numărătorii. Apoi simplificați fracția până devine ireductibilă, dacă este posibil.

$$y^{2}+\frac{18}{5}y+\frac{81}{25}=0$$

Factor y^{2}+\frac{18}{5}y+\frac{81}{25}. În general, atunci când x^{2}+bx+c este un pătrat perfect, el poate fi descompus în factori oricând ca \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(y+\frac{9}{5}\right)^{2}=0$$

Aflați rădăcina pătrată pentru ambele părți ale ecuației.

$$\sqrt{\left(y+\frac{9}{5}\right)^{2}}=\sqrt{0}$$

Simplificați.

$$y+\frac{9}{5}=0 y+\frac{9}{5}=0$$

Scădeți \frac{9}{5} din ambele părți ale ecuației.

$$y=-\frac{9}{5} y=-\frac{9}{5}$$

Ecuația este rezolvată acum. Soluțiile sunt la fel.

$$y=-\frac{9}{5}$$