Rezolvați 25x^2-7x-25=0

$$25 x ^ { 2 } - 7 x - 25 = 0$$

Rezolvați pentru x

$$x = \frac{\sqrt{2549} + 7}{50} \approx 1,149752445$$

$$x=\frac{7-\sqrt{2549}}{50}\approx -0,869752445$$

Pași folosind formula rădăcinilor ecuației de gradul al doilea

Toate ecuațiile de forma ax^{2}+bx+c=0 pot fi rezolvate utilizând formula rădăcinilor ecuației de gradul al doilea: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Formula rădăcinilor ecuației de gradul al doilea oferă două soluții, una atunci când operația ± este de adunare și una atunci când este de scădere.

$$25x^{2}-7x-25=0$$

Această ecuație este în formă standard: ax^{2}+bx+c=0. Înlocuiți a cu 25, b cu -7 și c cu -25 în formula rădăcinilor ecuațiilor de gradul al doilea, \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-\left(-7\right)±\sqrt{\left(-7\right)^{2}-4\times 25\left(-25\right)}}{2\times 25}$$

Ridicați -7 la pătrat.

$$x=\frac{-\left(-7\right)±\sqrt{49-4\times 25\left(-25\right)}}{2\times 25}$$

Înmulțiți -4 cu 25.

$$x=\frac{-\left(-7\right)±\sqrt{49-100\left(-25\right)}}{2\times 25}$$

Înmulțiți -100 cu -25.

$$x=\frac{-\left(-7\right)±\sqrt{49+2500}}{2\times 25}$$

Adunați 49 cu 2500.

$$x=\frac{-\left(-7\right)±\sqrt{2549}}{2\times 25}$$

Opusul lui -7 este 7.

$$x=\frac{7±\sqrt{2549}}{2\times 25}$$

Înmulțiți 2 cu 25.

$$x=\frac{7±\sqrt{2549}}{50}$$

Acum rezolvați ecuația x=\frac{7±\sqrt{2549}}{50} atunci când ± este plus. Adunați 7 cu \sqrt{2549}.

$$x=\frac{\sqrt{2549}+7}{50}$$

Acum rezolvați ecuația x=\frac{7±\sqrt{2549}}{50} atunci când ± este minus. Scădeți \sqrt{2549} din 7.

$$x=\frac{7-\sqrt{2549}}{50}$$

Ecuația este rezolvată acum.

$$x=\frac{\sqrt{2549}+7}{50} x=\frac{7-\sqrt{2549}}{50}$$

Pași pentru completarea pătratului

Ecuațiile de gradul doi ca aceasta pot fi rezolvate prin completarea pătratului. Pentru a completa pătratul, ecuația trebuie mai întâi să fie sub forma x^{2}+bx=c.

$$25x^{2}-7x-25=0$$

Adunați 25 la ambele părți ale ecuației.

$$25x^{2}-7x-25-\left(-25\right)=-\left(-25\right)$$

Scăderea -25 din el însuși are ca rezultat 0.

$$25x^{2}-7x=-\left(-25\right)$$

Scădeți -25 din 0.

$$25x^{2}-7x=25$$

Se împart ambele părți la 25.

$$\frac{25x^{2}-7x}{25}=\frac{25}{25}$$

Împărțirea la 25 anulează înmulțirea cu 25.

$$x^{2}-\frac{7}{25}x=\frac{25}{25}$$

Împărțiți 25 la 25.

$$x^{2}-\frac{7}{25}x=1$$

Împărțiți -\frac{7}{25}, coeficientul termenului x, la 2 pentru a obține -\frac{7}{50}. Apoi, adunați pătratul lui -\frac{7}{50} la ambele părți ale ecuației. Acest pas face din partea stângă a ecuației un pătrat perfect.

$$x^{2}-\frac{7}{25}x+\left(-\frac{7}{50}\right)^{2}=1+\left(-\frac{7}{50}\right)^{2}$$

Ridicați -\frac{7}{50} la pătrat, calculând pătratul pentru numărătorul și numitorul fracției.

$$x^{2}-\frac{7}{25}x+\frac{49}{2500}=1+\frac{49}{2500}$$

Adunați 1 cu \frac{49}{2500}.

$$x^{2}-\frac{7}{25}x+\frac{49}{2500}=\frac{2549}{2500}$$

Factor x^{2}-\frac{7}{25}x+\frac{49}{2500}. În general, atunci când x^{2}+bx+c este un pătrat perfect, el poate fi descompus în factori oricând ca \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x-\frac{7}{50}\right)^{2}=\frac{2549}{2500}$$

Aflați rădăcina pătrată pentru ambele părți ale ecuației.

$$\sqrt{\left(x-\frac{7}{50}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{2549}{2500}}$$

Simplificați.

$$x-\frac{7}{50}=\frac{\sqrt{2549}}{50} x-\frac{7}{50}=-\frac{\sqrt{2549}}{50}$$

Adunați \frac{7}{50} la ambele părți ale ecuației.

$$x=\frac{\sqrt{2549}+7}{50} x=\frac{7-\sqrt{2549}}{50}$$