Rezolvați 25x^2-60x+36=0

$$25 x ^ { 2 } - 60 x + 36 = 0$$

Rezolvați pentru x

$$x = \frac{6}{5} = 1\frac{1}{5} = 1,2$$

Pași utilizând descompunerea în factori prin grupare

Pentru a rezolva ecuația, factor mâna stângă după grupare. Mai întâi, fața la stânga trebuie să fie rescrisă ca 25x^{2}+ax+bx+36. Pentru a găsi a și b, configurați un sistem pentru a fi rezolvat.

$$a+b=-60 ab=25\times 36=900$$

Deoarece ab este pozitiv, a și b au același semn. Deoarece a+b este negativ, a și b sunt negative. Listează toate perechi de valori întregi care oferă produse 900.

$$-1,-900 -2,-450 -3,-300 -4,-225 -5,-180 -6,-150 -9,-100 -10,-90 -12,-75 -15,-60 -18,-50 -20,-45 -25,-36 -30,-30$$

Calculați suma pentru fiecare pereche.

$$-1-900=-901 -2-450=-452 -3-300=-303 -4-225=-229 -5-180=-185 -6-150=-156 -9-100=-109 -10-90=-100 -12-75=-87 -15-60=-75 -18-50=-68 -20-45=-65 -25-36=-61 -30-30=-60$$

Soluția este perechea care dă suma de -60.

$$a=-30 b=-30$$

Rescrieți 25x^{2}-60x+36 ca \left(25x^{2}-30x\right)+\left(-30x+36\right).

$$\left(25x^{2}-30x\right)+\left(-30x+36\right)$$

Factor 5x în primul și -6 în al doilea grup.

$$5x\left(5x-6\right)-6\left(5x-6\right)$$

Scoateți termenul comun 5x-6 prin utilizarea proprietății de distributivitate.

$$\left(5x-6\right)\left(5x-6\right)$$

Rescrieți ca binom pătrat.

$$\left(5x-6\right)^{2}$$

Pentru a găsi soluția ecuației, rezolvați 5x-6=0.

$$x=\frac{6}{5}$$

Pași folosind formula rădăcinilor ecuației de gradul al doilea

Toate ecuațiile de forma ax^{2}+bx+c=0 pot fi rezolvate utilizând formula rădăcinilor ecuației de gradul al doilea: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Formula rădăcinilor ecuației de gradul al doilea oferă două soluții, una atunci când operația ± este de adunare și una atunci când este de scădere.

$$25x^{2}-60x+36=0$$

Această ecuație este în formă standard: ax^{2}+bx+c=0. Înlocuiți a cu 25, b cu -60 și c cu 36 în formula rădăcinilor ecuațiilor de gradul al doilea, \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-\left(-60\right)±\sqrt{\left(-60\right)^{2}-4\times 25\times 36}}{2\times 25}$$

Ridicați -60 la pătrat.

$$x=\frac{-\left(-60\right)±\sqrt{3600-4\times 25\times 36}}{2\times 25}$$

Înmulțiți -4 cu 25.

$$x=\frac{-\left(-60\right)±\sqrt{3600-100\times 36}}{2\times 25}$$

Înmulțiți -100 cu 36.

$$x=\frac{-\left(-60\right)±\sqrt{3600-3600}}{2\times 25}$$

Adunați 3600 cu -3600.

$$x=\frac{-\left(-60\right)±\sqrt{0}}{2\times 25}$$

Aflați rădăcina pătrată pentru 0.

$$x=-\frac{-60}{2\times 25}$$

Opusul lui -60 este 60.

$$x=\frac{60}{2\times 25}$$

Înmulțiți 2 cu 25.

$$x=\frac{60}{50}$$

Reduceți fracția \frac{60}{50} la cei mai mici termeni, prin extragerea și reducerea 10.

$$x=\frac{6}{5}$$

Pași pentru completarea pătratului

Ecuațiile de gradul doi ca aceasta pot fi rezolvate prin completarea pătratului. Pentru a completa pătratul, ecuația trebuie mai întâi să fie sub forma x^{2}+bx=c.

$$25x^{2}-60x+36=0$$

Scădeți 36 din ambele părți ale ecuației.

$$25x^{2}-60x+36-36=-36$$

Scăderea 36 din el însuși are ca rezultat 0.

$$25x^{2}-60x=-36$$

Se împart ambele părți la 25.

$$\frac{25x^{2}-60x}{25}=-\frac{36}{25}$$

Împărțirea la 25 anulează înmulțirea cu 25.

$$x^{2}+\left(-\frac{60}{25}\right)x=-\frac{36}{25}$$

Reduceți fracția \frac{-60}{25} la cei mai mici termeni, prin extragerea și reducerea 5.

$$x^{2}-\frac{12}{5}x=-\frac{36}{25}$$

Împărțiți -\frac{12}{5}, coeficientul termenului x, la 2 pentru a obține -\frac{6}{5}. Apoi, adunați pătratul lui -\frac{6}{5} la ambele părți ale ecuației. Acest pas face din partea stângă a ecuației un pătrat perfect.

$$x^{2}-\frac{12}{5}x+\left(-\frac{6}{5}\right)^{2}=-\frac{36}{25}+\left(-\frac{6}{5}\right)^{2}$$

Ridicați -\frac{6}{5} la pătrat, calculând pătratul pentru numărătorul și numitorul fracției.

$$x^{2}-\frac{12}{5}x+\frac{36}{25}=\frac{-36+36}{25}$$

Adunați -\frac{36}{25} cu \frac{36}{25} găsind un numitor comun și adunând numărătorii. Apoi simplificați fracția până devine ireductibilă, dacă este posibil.

$$x^{2}-\frac{12}{5}x+\frac{36}{25}=0$$

Factor x^{2}-\frac{12}{5}x+\frac{36}{25}. În general, atunci când x^{2}+bx+c este un pătrat perfect, el poate fi descompus în factori oricând ca \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x-\frac{6}{5}\right)^{2}=0$$

Aflați rădăcina pătrată pentru ambele părți ale ecuației.

$$\sqrt{\left(x-\frac{6}{5}\right)^{2}}=\sqrt{0}$$

Simplificați.

$$x-\frac{6}{5}=0 x-\frac{6}{5}=0$$

Adunați \frac{6}{5} la ambele părți ale ecuației.

$$x=\frac{6}{5} x=\frac{6}{5}$$

Ecuația este rezolvată acum. Soluțiile sunt la fel.

$$x=\frac{6}{5}$$