Rezolvați 25x^2-40x+16=0

$$25 x ^ { 2 } - 40 x + 16 = 0$$

Rezolvați pentru x

$$x=\frac{4}{5}=0,8$$

Pași utilizând descompunerea în factori prin grupare

Pentru a rezolva ecuația, descompuneți în factori partea stângă prin grupare. În primul rând, partea stângă trebuie să fie rescrisă ca 25x^{2}+ax+bx+16. Pentru a găsi a și b, configurați un sistem care să fie rezolvat.

$$a+b=-40 ab=25\times 16=400$$

Deoarece ab este pozitiv, a și b au același semn. Deoarece a+b este negativ, a și b sunt ambele negative. Enumerați toate perechile întregi care oferă 400 de produs.

$$-1,-400 -2,-200 -4,-100 -5,-80 -8,-50 -10,-40 -16,-25 -20,-20$$

Calculați suma pentru fiecare pereche.

$$-1-400=-401 -2-200=-202 -4-100=-104 -5-80=-85 -8-50=-58 -10-40=-50 -16-25=-41 -20-20=-40$$

Soluția este perechea care dă suma de -40.

$$a=-20 b=-20$$

Rescrieți 25x^{2}-40x+16 ca \left(25x^{2}-20x\right)+\left(-20x+16\right).

$$\left(25x^{2}-20x\right)+\left(-20x+16\right)$$

Scoateți scoateți factorul 5x din primul și -4 din cel de-al doilea grup.

$$5x\left(5x-4\right)-4\left(5x-4\right)$$

Scoateți termenul comun 5x-4 prin utilizarea proprietății de distributivitate.

$$\left(5x-4\right)\left(5x-4\right)$$

Rescrieți ca binom pătrat.

$$\left(5x-4\right)^{2}$$

Pentru a găsi soluția ecuației, rezolvați 5x-4=0.

$$x=\frac{4}{5}$$

Pași folosind formula rădăcinilor ecuației de gradul al doilea

Toate ecuațiile de forma ax^{2}+bx+c=0 pot fi rezolvate utilizând formula rădăcinilor ecuației de gradul al doilea: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Formula rădăcinilor ecuației de gradul al doilea oferă două soluții, una atunci când operația ± este de adunare și una atunci când este de scădere.

$$25x^{2}-40x+16=0$$

Această ecuație este în formă standard: ax^{2}+bx+c=0. Înlocuiți a cu 25, b cu -40 și c cu 16 în formula rădăcinilor ecuațiilor de gradul al doilea, \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-\left(-40\right)±\sqrt{\left(-40\right)^{2}-4\times 25\times 16}}{2\times 25}$$

Ridicați -40 la pătrat.

$$x=\frac{-\left(-40\right)±\sqrt{1600-4\times 25\times 16}}{2\times 25}$$

Înmulțiți -4 cu 25.

$$x=\frac{-\left(-40\right)±\sqrt{1600-100\times 16}}{2\times 25}$$

Înmulțiți -100 cu 16.

$$x=\frac{-\left(-40\right)±\sqrt{1600-1600}}{2\times 25}$$

Adunați 1600 cu -1600.

$$x=\frac{-\left(-40\right)±\sqrt{0}}{2\times 25}$$

Aflați rădăcina pătrată pentru 0.

$$x=-\frac{-40}{2\times 25}$$

Opusul lui -40 este 40.

$$x=\frac{40}{2\times 25}$$

Înmulțiți 2 cu 25.

$$x=\frac{40}{50}$$

Reduceți fracția \frac{40}{50} la cei mai mici termeni, prin extragerea și reducerea 10.

$$x=\frac{4}{5}$$

Pași pentru completarea pătratului

Ecuațiile de gradul doi ca aceasta pot fi rezolvate prin completarea pătratului. Pentru a completa pătratul, ecuația trebuie mai întâi să fie sub forma x^{2}+bx=c.

$$25x^{2}-40x+16=0$$

Scădeți 16 din ambele părți ale ecuației.

$$25x^{2}-40x+16-16=-16$$

Scăderea 16 din el însuși are ca rezultat 0.

$$25x^{2}-40x=-16$$

Se împart ambele părți la 25.

$$\frac{25x^{2}-40x}{25}=-\frac{16}{25}$$

Împărțirea la 25 anulează înmulțirea cu 25.

$$x^{2}+\left(-\frac{40}{25}\right)x=-\frac{16}{25}$$

Reduceți fracția \frac{-40}{25} la cei mai mici termeni, prin extragerea și reducerea 5.

$$x^{2}-\frac{8}{5}x=-\frac{16}{25}$$

Împărțiți -\frac{8}{5}, coeficientul termenului x, la 2 pentru a obține -\frac{4}{5}. Apoi, adunați pătratul lui -\frac{4}{5} la ambele părți ale ecuației. Acest pas face din partea stângă a ecuației un pătrat perfect.

$$x^{2}-\frac{8}{5}x+\left(-\frac{4}{5}\right)^{2}=-\frac{16}{25}+\left(-\frac{4}{5}\right)^{2}$$

Ridicați -\frac{4}{5} la pătrat, calculând pătratul pentru numărătorul și numitorul fracției.

$$x^{2}-\frac{8}{5}x+\frac{16}{25}=\frac{-16+16}{25}$$

Adunați -\frac{16}{25} cu \frac{16}{25} găsind un numitor comun și adunând numărătorii. Apoi simplificați fracția până devine ireductibilă, dacă este posibil.

$$x^{2}-\frac{8}{5}x+\frac{16}{25}=0$$

Factorul x^{2}-\frac{8}{5}x+\frac{16}{25}. În general, când x^{2}+bx+c este un pătrat perfect, acesta poate fi descompus întotdeauna în factori ca \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x-\frac{4}{5}\right)^{2}=0$$

Aflați rădăcina pătrată pentru ambele părți ale ecuației.

$$\sqrt{\left(x-\frac{4}{5}\right)^{2}}=\sqrt{0}$$

Simplificați.

$$x-\frac{4}{5}=0 x-\frac{4}{5}=0$$

Adunați \frac{4}{5} la ambele părți ale ecuației.

$$x=\frac{4}{5} x=\frac{4}{5}$$

Ecuația este rezolvată acum. Soluțiile sunt la fel.

$$x=\frac{4}{5}$$