Rezolvați 25x^2-19x-3=0

$$25 x ^ { 2 } - 19 x - 3 = 0$$

Rezolvați pentru x

$$x=\frac{\sqrt{661}+19}{50}\approx 0,894198405$$

$$x=\frac{19-\sqrt{661}}{50}\approx -0,134198405$$

Pași folosind formula rădăcinilor ecuației de gradul al doilea

Toate ecuațiile de forma ax^{2}+bx+c=0 pot fi rezolvate utilizând formula rădăcinilor ecuației de gradul al doilea: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Formula rădăcinilor ecuației de gradul al doilea oferă două soluții, una atunci când operația ± este de adunare și una atunci când este de scădere.

$$25x^{2}-19x-3=0$$

Această ecuație este în formă standard: ax^{2}+bx+c=0. Înlocuiți a cu 25, b cu -19 și c cu -3 în formula rădăcinilor ecuațiilor de gradul al doilea, \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-\left(-19\right)±\sqrt{\left(-19\right)^{2}-4\times 25\left(-3\right)}}{2\times 25}$$

Ridicați -19 la pătrat.

$$x=\frac{-\left(-19\right)±\sqrt{361-4\times 25\left(-3\right)}}{2\times 25}$$

Înmulțiți -4 cu 25.

$$x=\frac{-\left(-19\right)±\sqrt{361-100\left(-3\right)}}{2\times 25}$$

Înmulțiți -100 cu -3.

$$x=\frac{-\left(-19\right)±\sqrt{361+300}}{2\times 25}$$

Adunați 361 cu 300.

$$x=\frac{-\left(-19\right)±\sqrt{661}}{2\times 25}$$

Opusul lui -19 este 19.

$$x=\frac{19±\sqrt{661}}{2\times 25}$$

Înmulțiți 2 cu 25.

$$x=\frac{19±\sqrt{661}}{50}$$

Acum rezolvați ecuația x=\frac{19±\sqrt{661}}{50} atunci când ± este plus. Adunați 19 cu \sqrt{661}.

$$x=\frac{\sqrt{661}+19}{50}$$

Acum rezolvați ecuația x=\frac{19±\sqrt{661}}{50} atunci când ± este minus. Scădeți \sqrt{661} din 19.

$$x=\frac{19-\sqrt{661}}{50}$$

Ecuația este rezolvată acum.

$$x=\frac{\sqrt{661}+19}{50} x=\frac{19-\sqrt{661}}{50}$$

Pași pentru completarea pătratului

Ecuațiile de gradul doi ca aceasta pot fi rezolvate prin completarea pătratului. Pentru a completa pătratul, ecuația trebuie mai întâi să fie sub forma x^{2}+bx=c.

$$25x^{2}-19x-3=0$$

Adunați 3 la ambele părți ale ecuației.

$$25x^{2}-19x-3-\left(-3\right)=-\left(-3\right)$$

Scăderea -3 din el însuși are ca rezultat 0.

$$25x^{2}-19x=-\left(-3\right)$$

Scădeți -3 din 0.

$$25x^{2}-19x=3$$

Se împart ambele părți la 25.

$$\frac{25x^{2}-19x}{25}=\frac{3}{25}$$

Împărțirea la 25 anulează înmulțirea cu 25.

$$x^{2}-\frac{19}{25}x=\frac{3}{25}$$

Împărțiți -\frac{19}{25}, coeficientul termenului x, la 2 pentru a obține -\frac{19}{50}. Apoi, adunați pătratul lui -\frac{19}{50} la ambele părți ale ecuației. Acest pas face din partea stângă a ecuației un pătrat perfect.

$$x^{2}-\frac{19}{25}x+\left(-\frac{19}{50}\right)^{2}=\frac{3}{25}+\left(-\frac{19}{50}\right)^{2}$$

Ridicați -\frac{19}{50} la pătrat, calculând pătratul pentru numărătorul și numitorul fracției.

$$x^{2}-\frac{19}{25}x+\frac{361}{2500}=\frac{3}{25}+\frac{361}{2500}$$

Adunați \frac{3}{25} cu \frac{361}{2500} găsind un numitor comun și adunând numărătorii. Apoi simplificați fracția până devine ireductibilă, dacă este posibil.

$$x^{2}-\frac{19}{25}x+\frac{361}{2500}=\frac{661}{2500}$$

Factor x^{2}-\frac{19}{25}x+\frac{361}{2500}. În general, atunci când x^{2}+bx+c este un pătrat perfect, el poate fi descompus în factori oricând ca \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x-\frac{19}{50}\right)^{2}=\frac{661}{2500}$$

Aflați rădăcina pătrată pentru ambele părți ale ecuației.

$$\sqrt{\left(x-\frac{19}{50}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{661}{2500}}$$

Simplificați.

$$x-\frac{19}{50}=\frac{\sqrt{661}}{50} x-\frac{19}{50}=-\frac{\sqrt{661}}{50}$$

Adunați \frac{19}{50} la ambele părți ale ecuației.

$$x=\frac{\sqrt{661}+19}{50} x=\frac{19-\sqrt{661}}{50}$$