Rezolvați 25n^2-30n+9

$$25 n ^ { 2 } - 30 n + 9$$

Descompunere în factori

$$\left(5n-3\right)^{2}$$

Pașii soluției

Descompuneți expresia în factori prin grupare. Mai întâi, expresia trebuie să fie rescrisă ca 25n^{2}+an+bn+9. Pentru a găsi a și b, configurați un sistem pentru a fi rezolvat.

$$a+b=-30 ab=25\times 9=225$$

Deoarece ab este pozitiv, a și b au același semn. Deoarece a+b este negativ, a și b sunt negative. Listează toate perechi de valori întregi care oferă produse 225.

$$-1,-225 -3,-75 -5,-45 -9,-25 -15,-15$$

Calculați suma pentru fiecare pereche.

$$-1-225=-226 -3-75=-78 -5-45=-50 -9-25=-34 -15-15=-30$$

Soluția este perechea care dă suma de -30.

$$a=-15 b=-15$$

Rescrieți 25n^{2}-30n+9 ca \left(25n^{2}-15n\right)+\left(-15n+9\right).

$$\left(25n^{2}-15n\right)+\left(-15n+9\right)$$

Factor 5n în primul și -3 în al doilea grup.

$$5n\left(5n-3\right)-3\left(5n-3\right)$$

Scoateți termenul comun 5n-3 prin utilizarea proprietății de distributivitate.

$$\left(5n-3\right)\left(5n-3\right)$$

Rescrieți ca binom pătrat.

$$\left(5n-3\right)^{2}$$

Pași utilizând pătratul binomului

Acest trinom are forma unui pătrat de trinom, înmulțit probabil cu un factor comun. Pătratele de trinom pot fi descompuse în factori prin găsirea rădăcinilor pătrate ale termenilor de început și de sfârșit.

$$factor(25n^{2}-30n+9)$$

Găsiți cel mai mare divizor comun al coeficienților.

$$gcf(25,-30,9)=1$$

Aflați rădăcina pătrată a termenului de la început, 25n^{2}.

$$\sqrt{25n^{2}}=5n$$

Aflați rădăcina pătrată a termenului de la sfârșit, 9.

$$\sqrt{9}=3$$

Pătratul trinomului este pătratul binomului ce reprezintă suma sau diferența rădăcinilor pătrate ale termenilor de început și de sfârșit, cu semnul determinat de semnul termenului de mijloc al pătratului trinomului.

$$\left(5n-3\right)^{2}$$

Pași folosind formula rădăcinilor ecuației de gradul al doilea

Polinomul de gradul doi se poate descompune în factori folosind transformarea ax^{2}+bx+c=a\left(x-x_{1}\right)\left(x-x_{2}\right), unde x_{1} și x_{2} sunt soluțiile ecuației de gradul doi ax^{2}+bx+c=0.

$$25n^{2}-30n+9=0$$

Toate ecuațiile de forma ax^{2}+bx+c=0 pot fi rezolvate utilizând formula rădăcinilor ecuației de gradul al doilea: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Formula rădăcinilor ecuației de gradul al doilea oferă două soluții, una atunci când operația ± este de adunare și una atunci când este de scădere.

$$n=\frac{-\left(-30\right)±\sqrt{\left(-30\right)^{2}-4\times 25\times 9}}{2\times 25}$$

Ridicați -30 la pătrat.

$$n=\frac{-\left(-30\right)±\sqrt{900-4\times 25\times 9}}{2\times 25}$$

Înmulțiți -4 cu 25.

$$n=\frac{-\left(-30\right)±\sqrt{900-100\times 9}}{2\times 25}$$

Înmulțiți -100 cu 9.

$$n=\frac{-\left(-30\right)±\sqrt{900-900}}{2\times 25}$$

Adunați 900 cu -900.

$$n=\frac{-\left(-30\right)±\sqrt{0}}{2\times 25}$$

Aflați rădăcina pătrată pentru 0.

$$n=\frac{-\left(-30\right)±0}{2\times 25}$$

Opusul lui -30 este 30.

$$n=\frac{30±0}{2\times 25}$$

Înmulțiți 2 cu 25.

$$n=\frac{30±0}{50}$$

Descompuneți în factori expresia inițială utilizând ax^{2}+bx+c=a\left(x-x_{1}\right)\left(x-x_{2}\right). Înlocuiți x_{1} cu \frac{3}{5} și x_{2} cu \frac{3}{5}.

$$25n^{2}-30n+9=25\left(n-\frac{3}{5}\right)\left(n-\frac{3}{5}\right)$$

Scădeți \frac{3}{5} din n găsind un numitor comun și scăzând numărătorii. Apoi simplificați fracția până devine ireductibilă, dacă este posibil.

$$25n^{2}-30n+9=25\times \frac{5n-3}{5}\left(n-\frac{3}{5}\right)$$

Scădeți \frac{3}{5} din n găsind un numitor comun și scăzând numărătorii. Apoi simplificați fracția până devine ireductibilă, dacă este posibil.

$$25n^{2}-30n+9=25\times \frac{5n-3}{5}\times \frac{5n-3}{5}$$

Înmulțiți \frac{5n-3}{5} cu \frac{5n-3}{5} prin înmulțirea valorilor de la numărător și a valorilor de la numitor. Apoi simplificați fracția până devine ireductibilă, dacă este posibil.

$$25n^{2}-30n+9=25\times \frac{\left(5n-3\right)\left(5n-3\right)}{5\times 5}$$

Înmulțiți 5 cu 5.

$$25n^{2}-30n+9=25\times \frac{\left(5n-3\right)\left(5n-3\right)}{25}$$

Simplificați cu 25, cel mai mare factor comun din 25 și 25.

$$25n^{2}-30n+9=\left(5n-3\right)\left(5n-3\right)$$

Evaluați

$$\left(5n-3\right)^{2}$$