Rezolvați 25x^2-90x+77=0

$$25 { x }^{ 2 } -90x+77=0$$

Rezolvați pentru x

$$x = \frac{7}{5} = 1\frac{2}{5} = 1,4$$

$$x = \frac{11}{5} = 2\frac{1}{5} = 2,2$$

Pași folosind formula rădăcinilor ecuației de gradul al doilea

Toate ecuațiile de forma ax^{2}+bx+c=0 pot fi rezolvate utilizând formula rădăcinilor ecuației de gradul al doilea: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Formula rădăcinilor ecuației de gradul al doilea oferă două soluții, una atunci când operația ± este de adunare și una atunci când este de scădere.

$$25x^{2}-90x+77=0$$

Această ecuație este în formă standard: ax^{2}+bx+c=0. Înlocuiți a cu 25, b cu -90 și c cu 77 în formula rădăcinilor ecuațiilor de gradul al doilea, \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-\left(-90\right)±\sqrt{\left(-90\right)^{2}-4\times 25\times 77}}{2\times 25}$$

Ridicați -90 la pătrat.

$$x=\frac{-\left(-90\right)±\sqrt{8100-4\times 25\times 77}}{2\times 25}$$

Înmulțiți -4 cu 25.

$$x=\frac{-\left(-90\right)±\sqrt{8100-100\times 77}}{2\times 25}$$

Înmulțiți -100 cu 77.

$$x=\frac{-\left(-90\right)±\sqrt{8100-7700}}{2\times 25}$$

Adunați 8100 cu -7700.

$$x=\frac{-\left(-90\right)±\sqrt{400}}{2\times 25}$$

Aflați rădăcina pătrată pentru 400.

$$x=\frac{-\left(-90\right)±20}{2\times 25}$$

Opusul lui -90 este 90.

$$x=\frac{90±20}{2\times 25}$$

Înmulțiți 2 cu 25.

$$x=\frac{90±20}{50}$$

Acum rezolvați ecuația x=\frac{90±20}{50} atunci când ± este plus. Adunați 90 cu 20.

$$x=\frac{110}{50}$$

Reduceți fracția \frac{110}{50} la cei mai mici termeni, prin extragerea și reducerea 10.

$$x=\frac{11}{5}$$

Acum rezolvați ecuația x=\frac{90±20}{50} atunci când ± este minus. Scădeți 20 din 90.

$$x=\frac{70}{50}$$

Reduceți fracția \frac{70}{50} la cei mai mici termeni, prin extragerea și reducerea 10.

$$x=\frac{7}{5}$$

Ecuația este rezolvată acum.

$$x=\frac{11}{5} x=\frac{7}{5}$$

Pași pentru completarea pătratului

Ecuațiile de gradul doi ca aceasta pot fi rezolvate prin completarea pătratului. Pentru a completa pătratul, ecuația trebuie mai întâi să fie sub forma x^{2}+bx=c.

$$25x^{2}-90x+77=0$$

Scădeți 77 din ambele părți ale ecuației.

$$25x^{2}-90x+77-77=-77$$

Scăderea 77 din el însuși are ca rezultat 0.

$$25x^{2}-90x=-77$$

Se împart ambele părți la 25.

$$\frac{25x^{2}-90x}{25}=-\frac{77}{25}$$

Împărțirea la 25 anulează înmulțirea cu 25.

$$x^{2}+\left(-\frac{90}{25}\right)x=-\frac{77}{25}$$

Reduceți fracția \frac{-90}{25} la cei mai mici termeni, prin extragerea și reducerea 5.

$$x^{2}-\frac{18}{5}x=-\frac{77}{25}$$

Împărțiți -\frac{18}{5}, coeficientul termenului x, la 2 pentru a obține -\frac{9}{5}. Apoi, adunați pătratul lui -\frac{9}{5} la ambele părți ale ecuației. Acest pas face din partea stângă a ecuației un pătrat perfect.

$$x^{2}-\frac{18}{5}x+\left(-\frac{9}{5}\right)^{2}=-\frac{77}{25}+\left(-\frac{9}{5}\right)^{2}$$

Ridicați -\frac{9}{5} la pătrat, calculând pătratul pentru numărătorul și numitorul fracției.

$$x^{2}-\frac{18}{5}x+\frac{81}{25}=\frac{-77+81}{25}$$

Adunați -\frac{77}{25} cu \frac{81}{25} găsind un numitor comun și adunând numărătorii. Apoi simplificați fracția până devine ireductibilă, dacă este posibil.

$$x^{2}-\frac{18}{5}x+\frac{81}{25}=\frac{4}{25}$$

Factor x^{2}-\frac{18}{5}x+\frac{81}{25}. În general, atunci când x^{2}+bx+c este un pătrat perfect, el poate fi descompus în factori oricând ca \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x-\frac{9}{5}\right)^{2}=\frac{4}{25}$$

Aflați rădăcina pătrată pentru ambele părți ale ecuației.

$$\sqrt{\left(x-\frac{9}{5}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{4}{25}}$$

Simplificați.

$$x-\frac{9}{5}=\frac{2}{5} x-\frac{9}{5}=-\frac{2}{5}$$

Adunați \frac{9}{5} la ambele părți ale ecuației.

$$x=\frac{11}{5} x=\frac{7}{5}$$