Rezolvați 25x^2-8x=12x-4

$$25 { x }^{ 2 } -8x=12x-4$$

Rezolvați pentru x

$$x=\frac{2}{5}=0.4$$

Pași utilizând descompunerea în factori prin grupare

Scădeți 12x din ambele părți.

$$25x^{2}-8x-12x=-4$$

Combinați -8x cu -12x pentru a obține -20x.

$$25x^{2}-20x=-4$$

Adăugați 4 la ambele părți.

$$25x^{2}-20x+4=0$$

Pentru a rezolva ecuația, descompuneți în factori partea stângă prin grupare. În primul rând, partea stângă trebuie să fie rescrisă ca 25x^{2}+ax+bx+4. Pentru a găsi a și b, configurați un sistem care să fie rezolvat.

$$a+b=-20 ab=25\times 4=100$$

Deoarece ab este pozitiv, a și b au același semn. Deoarece a+b este negativ, a și b sunt ambele negative. Enumerați toate perechile întregi care oferă 100 de produs.

$$-1,-100 -2,-50 -4,-25 -5,-20 -10,-10$$

Calculați suma pentru fiecare pereche.

$$-1-100=-101 -2-50=-52 -4-25=-29 -5-20=-25 -10-10=-20$$

Soluția este perechea care dă suma de -20.

$$a=-10 b=-10$$

Rescrieți 25x^{2}-20x+4 ca \left(25x^{2}-10x\right)+\left(-10x+4\right).

$$\left(25x^{2}-10x\right)+\left(-10x+4\right)$$

Scoateți scoateți factorul 5x din primul și -2 din cel de-al doilea grup.

$$5x\left(5x-2\right)-2\left(5x-2\right)$$

Scoateți termenul comun 5x-2 prin utilizarea proprietății de distributivitate.

$$\left(5x-2\right)\left(5x-2\right)$$

Rescrieți ca binom pătrat.

$$\left(5x-2\right)^{2}$$

Pentru a găsi soluția ecuației, rezolvați 5x-2=0.

$$x=\frac{2}{5}$$

Pași folosind formula rădăcinilor ecuației de gradul al doilea

Scădeți 12x din ambele părți.

$$25x^{2}-8x-12x=-4$$

Combinați -8x cu -12x pentru a obține -20x.

$$25x^{2}-20x=-4$$

Adăugați 4 la ambele părți.

$$25x^{2}-20x+4=0$$

Această ecuație este în formă standard: ax^{2}+bx+c=0. Înlocuiți a cu 25, b cu -20 și c cu 4 în formula rădăcinilor ecuațiilor de gradul al doilea, \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-\left(-20\right)±\sqrt{\left(-20\right)^{2}-4\times 25\times 4}}{2\times 25}$$

Ridicați -20 la pătrat.

$$x=\frac{-\left(-20\right)±\sqrt{400-4\times 25\times 4}}{2\times 25}$$

Înmulțiți -4 cu 25.

$$x=\frac{-\left(-20\right)±\sqrt{400-100\times 4}}{2\times 25}$$

Înmulțiți -100 cu 4.

$$x=\frac{-\left(-20\right)±\sqrt{400-400}}{2\times 25}$$

Adunați 400 cu -400.

$$x=\frac{-\left(-20\right)±\sqrt{0}}{2\times 25}$$

Aflați rădăcina pătrată pentru 0.

$$x=-\frac{-20}{2\times 25}$$

Opusul lui -20 este 20.

$$x=\frac{20}{2\times 25}$$

Înmulțiți 2 cu 25.

$$x=\frac{20}{50}$$

Reduceți fracția \frac{20}{50} la cei mai mici termeni, prin extragerea și reducerea 10.

$$x=\frac{2}{5}$$

Pași pentru completarea pătratului

Scădeți 12x din ambele părți.

$$25x^{2}-8x-12x=-4$$

Combinați -8x cu -12x pentru a obține -20x.

$$25x^{2}-20x=-4$$

Se împart ambele părți la 25.

$$\frac{25x^{2}-20x}{25}=-\frac{4}{25}$$

Împărțirea la 25 anulează înmulțirea cu 25.

$$x^{2}+\left(-\frac{20}{25}\right)x=-\frac{4}{25}$$

Reduceți fracția \frac{-20}{25} la cei mai mici termeni, prin extragerea și reducerea 5.

$$x^{2}-\frac{4}{5}x=-\frac{4}{25}$$

Împărțiți -\frac{4}{5}, coeficientul termenului x, la 2 pentru a obține -\frac{2}{5}. Apoi, adunați pătratul lui -\frac{2}{5} la ambele părți ale ecuației. Acest pas face din partea stângă a ecuației un pătrat perfect.

$$x^{2}-\frac{4}{5}x+\left(-\frac{2}{5}\right)^{2}=-\frac{4}{25}+\left(-\frac{2}{5}\right)^{2}$$

Ridicați -\frac{2}{5} la pătrat, calculând pătratul pentru numărătorul și numitorul fracției.

$$x^{2}-\frac{4}{5}x+\frac{4}{25}=\frac{-4+4}{25}$$

Adunați -\frac{4}{25} cu \frac{4}{25} găsind un numitor comun și adunând numărătorii. Apoi simplificați fracția până devine ireductibilă, dacă este posibil.

$$x^{2}-\frac{4}{5}x+\frac{4}{25}=0$$

Factorul x^{2}-\frac{4}{5}x+\frac{4}{25}. În general, când x^{2}+bx+c este un pătrat perfect, acesta poate fi descompus întotdeauna în factori ca \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x-\frac{2}{5}\right)^{2}=0$$

Aflați rădăcina pătrată pentru ambele părți ale ecuației.

$$\sqrt{\left(x-\frac{2}{5}\right)^{2}}=\sqrt{0}$$

Simplificați.

$$x-\frac{2}{5}=0 x-\frac{2}{5}=0$$

Adunați \frac{2}{5} la ambele părți ale ecuației.

$$x=\frac{2}{5} x=\frac{2}{5}$$

Ecuația este rezolvată acum. Soluțiile sunt la fel.

$$x=\frac{2}{5}$$