Rezolvați 25x^2+250x-15000=0

$$25 { x }^{ 2 } +250x-15000=0$$

Rezolvați pentru x

$$x=-30$$

$$x=20$$

Pași utilizând descompunerea în factori prin grupare

Se împart ambele părți la 25.

$$x^{2}+10x-600=0$$

Pentru a rezolva ecuația, factor mâna stângă după grupare. Mai întâi, fața la stânga trebuie să fie rescrisă ca x^{2}+ax+bx-600. Pentru a găsi a și b, configurați un sistem pentru a fi rezolvat.

$$a+b=10 ab=1\left(-600\right)=-600$$

Deoarece ab este negativ, a și b au semne opuse. Deoarece a+b este pozitiv, numărul pozitiv are o valoare absolută mai mare decât valoarea negativă. Listează toate perechi de valori întregi care oferă produse -600.

$$-1,600 -2,300 -3,200 -4,150 -5,120 -6,100 -8,75 -10,60 -12,50 -15,40 -20,30 -24,25$$

Calculați suma pentru fiecare pereche.

$$-1+600=599 -2+300=298 -3+200=197 -4+150=146 -5+120=115 -6+100=94 -8+75=67 -10+60=50 -12+50=38 -15+40=25 -20+30=10 -24+25=1$$

Soluția este perechea care dă suma de 10.

$$a=-20 b=30$$

Rescrieți x^{2}+10x-600 ca \left(x^{2}-20x\right)+\left(30x-600\right).

$$\left(x^{2}-20x\right)+\left(30x-600\right)$$

Factor x în primul și 30 în al doilea grup.

$$x\left(x-20\right)+30\left(x-20\right)$$

Scoateți termenul comun x-20 prin utilizarea proprietății de distributivitate.

$$\left(x-20\right)\left(x+30\right)$$

Pentru a găsi soluții de ecuații, rezolvați x-20=0 și x+30=0.

$$x=20 x=-30$$

Pași folosind formula rădăcinilor ecuației de gradul al doilea

Toate ecuațiile de forma ax^{2}+bx+c=0 pot fi rezolvate utilizând formula rădăcinilor ecuației de gradul al doilea: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Formula rădăcinilor ecuației de gradul al doilea oferă două soluții, una atunci când operația ± este de adunare și una atunci când este de scădere.

$$25x^{2}+250x-15000=0$$

Această ecuație este în formă standard: ax^{2}+bx+c=0. Înlocuiți a cu 25, b cu 250 și c cu -15000 în formula rădăcinilor ecuațiilor de gradul al doilea, \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-250±\sqrt{250^{2}-4\times 25\left(-15000\right)}}{2\times 25}$$

Ridicați 250 la pătrat.

$$x=\frac{-250±\sqrt{62500-4\times 25\left(-15000\right)}}{2\times 25}$$

Înmulțiți -4 cu 25.

$$x=\frac{-250±\sqrt{62500-100\left(-15000\right)}}{2\times 25}$$

Înmulțiți -100 cu -15000.

$$x=\frac{-250±\sqrt{62500+1500000}}{2\times 25}$$

Adunați 62500 cu 1500000.

$$x=\frac{-250±\sqrt{1562500}}{2\times 25}$$

Aflați rădăcina pătrată pentru 1562500.

$$x=\frac{-250±1250}{2\times 25}$$

Înmulțiți 2 cu 25.

$$x=\frac{-250±1250}{50}$$

Acum rezolvați ecuația x=\frac{-250±1250}{50} atunci când ± este plus. Adunați -250 cu 1250.

$$x=\frac{1000}{50}$$

Împărțiți 1000 la 50.

$$x=20$$

Acum rezolvați ecuația x=\frac{-250±1250}{50} atunci când ± este minus. Scădeți 1250 din -250.

$$x=-\frac{1500}{50}$$

Împărțiți -1500 la 50.

$$x=-30$$

Ecuația este rezolvată acum.

$$x=20 x=-30$$

Pași pentru completarea pătratului

Ecuațiile de gradul doi ca aceasta pot fi rezolvate prin completarea pătratului. Pentru a completa pătratul, ecuația trebuie mai întâi să fie sub forma x^{2}+bx=c.

$$25x^{2}+250x-15000=0$$

Adunați 15000 la ambele părți ale ecuației.

$$25x^{2}+250x-15000-\left(-15000\right)=-\left(-15000\right)$$

Scăderea -15000 din el însuși are ca rezultat 0.

$$25x^{2}+250x=-\left(-15000\right)$$

Scădeți -15000 din 0.

$$25x^{2}+250x=15000$$

Se împart ambele părți la 25.

$$\frac{25x^{2}+250x}{25}=\frac{15000}{25}$$

Împărțirea la 25 anulează înmulțirea cu 25.

$$x^{2}+\frac{250}{25}x=\frac{15000}{25}$$

Împărțiți 250 la 25.

$$x^{2}+10x=\frac{15000}{25}$$

Împărțiți 15000 la 25.

$$x^{2}+10x=600$$

Împărțiți 10, coeficientul termenului x, la 2 pentru a obține 5. Apoi, adunați pătratul lui 5 la ambele părți ale ecuației. Acest pas face din partea stângă a ecuației un pătrat perfect.

$$x^{2}+10x+5^{2}=600+5^{2}$$

Ridicați 5 la pătrat.

$$x^{2}+10x+25=600+25$$

Adunați 600 cu 25.

$$x^{2}+10x+25=625$$

Factor x^{2}+10x+25. În general, atunci când x^{2}+bx+c este un pătrat perfect, el poate fi descompus în factori oricând ca \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x+5\right)^{2}=625$$

Aflați rădăcina pătrată pentru ambele părți ale ecuației.

$$\sqrt{\left(x+5\right)^{2}}=\sqrt{625}$$

Simplificați.

$$x+5=25 x+5=-25$$

Scădeți 5 din ambele părți ale ecuației.

$$x=20 x=-30$$