Rezolvați 25left(4+xright)^2+7(5-x)(5+x)=295-45x^2

$$25 { \left(4+x \right) }^{ 2 } +7(5-x)(5+x)=295-45 { x }^{ 2 }$$

Rezolvați pentru x (complex solution)

$$x=\frac{-100+2\sqrt{1910}i}{63}\approx -1,587301587+1,387414183i$$

$$x=\frac{-2\sqrt{1910}i-100}{63}\approx -1,587301587-1,387414183i$$

Pași folosind formula rădăcinilor ecuației de gradul al doilea

Utilizați binomul lui Newton \left(a+b\right)^{2}=a^{2}+2ab+b^{2} pentru a extinde \left(4+x\right)^{2}.

$$25\left(16+8x+x^{2}\right)+7\left(5-x\right)\left(5+x\right)=295-45x^{2}$$

Utilizați proprietatea de distributivitate pentru a înmulți 25 cu 16+8x+x^{2}.

$$400+200x+25x^{2}+7\left(5-x\right)\left(5+x\right)=295-45x^{2}$$

Utilizați proprietatea de distributivitate pentru a înmulți 7 cu 5-x.

$$400+200x+25x^{2}+\left(35-7x\right)\left(5+x\right)=295-45x^{2}$$

Utilizați proprietatea de distributivitate pentru a înmulți 35-7x cu 5+x și a combina termenii similari.

$$400+200x+25x^{2}+175-7x^{2}=295-45x^{2}$$

Adunați 400 și 175 pentru a obține 575.

$$575+200x+25x^{2}-7x^{2}=295-45x^{2}$$

Combinați 25x^{2} cu -7x^{2} pentru a obține 18x^{2}.

$$575+200x+18x^{2}=295-45x^{2}$$

Scădeți 295 din ambele părți.

$$575+200x+18x^{2}-295=-45x^{2}$$

Scădeți 295 din 575 pentru a obține 280.

$$280+200x+18x^{2}=-45x^{2}$$

Adăugați 45x^{2} la ambele părți.

$$280+200x+18x^{2}+45x^{2}=0$$

Combinați 18x^{2} cu 45x^{2} pentru a obține 63x^{2}.

$$280+200x+63x^{2}=0$$

Toate ecuațiile de forma ax^{2}+bx+c=0 pot fi rezolvate utilizând formula rădăcinilor ecuației de gradul al doilea: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Formula rădăcinilor ecuației de gradul al doilea oferă două soluții, una atunci când operația ± este de adunare și una atunci când este de scădere.

$$63x^{2}+200x+280=0$$

Această ecuație este în formă standard: ax^{2}+bx+c=0. Înlocuiți a cu 63, b cu 200 și c cu 280 în formula rădăcinilor ecuațiilor de gradul al doilea, \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-200±\sqrt{200^{2}-4\times 63\times 280}}{2\times 63}$$

Ridicați 200 la pătrat.

$$x=\frac{-200±\sqrt{40000-4\times 63\times 280}}{2\times 63}$$

Înmulțiți -4 cu 63.

$$x=\frac{-200±\sqrt{40000-252\times 280}}{2\times 63}$$

Înmulțiți -252 cu 280.

$$x=\frac{-200±\sqrt{40000-70560}}{2\times 63}$$

Adunați 40000 cu -70560.

$$x=\frac{-200±\sqrt{-30560}}{2\times 63}$$

Aflați rădăcina pătrată pentru -30560.

$$x=\frac{-200±4\sqrt{1910}i}{2\times 63}$$

Înmulțiți 2 cu 63.

$$x=\frac{-200±4\sqrt{1910}i}{126}$$

Acum rezolvați ecuația x=\frac{-200±4\sqrt{1910}i}{126} atunci când ± este plus. Adunați -200 cu 4i\sqrt{1910}.

$$x=\frac{-200+4\sqrt{1910}i}{126}$$

Împărțiți -200+4i\sqrt{1910} la 126.

$$x=\frac{-100+2\sqrt{1910}i}{63}$$

Acum rezolvați ecuația x=\frac{-200±4\sqrt{1910}i}{126} atunci când ± este minus. Scădeți 4i\sqrt{1910} din -200.

$$x=\frac{-4\sqrt{1910}i-200}{126}$$

Împărțiți -200-4i\sqrt{1910} la 126.

$$x=\frac{-2\sqrt{1910}i-100}{63}$$

Ecuația este rezolvată acum.

$$x=\frac{-100+2\sqrt{1910}i}{63} x=\frac{-2\sqrt{1910}i-100}{63}$$

Pași pentru completarea pătratului

Utilizați binomul lui Newton \left(a+b\right)^{2}=a^{2}+2ab+b^{2} pentru a extinde \left(4+x\right)^{2}.

$$25\left(16+8x+x^{2}\right)+7\left(5-x\right)\left(5+x\right)=295-45x^{2}$$

Utilizați proprietatea de distributivitate pentru a înmulți 25 cu 16+8x+x^{2}.

$$400+200x+25x^{2}+7\left(5-x\right)\left(5+x\right)=295-45x^{2}$$

Utilizați proprietatea de distributivitate pentru a înmulți 7 cu 5-x.

$$400+200x+25x^{2}+\left(35-7x\right)\left(5+x\right)=295-45x^{2}$$

Utilizați proprietatea de distributivitate pentru a înmulți 35-7x cu 5+x și a combina termenii similari.

$$400+200x+25x^{2}+175-7x^{2}=295-45x^{2}$$

Adunați 400 și 175 pentru a obține 575.

$$575+200x+25x^{2}-7x^{2}=295-45x^{2}$$

Combinați 25x^{2} cu -7x^{2} pentru a obține 18x^{2}.

$$575+200x+18x^{2}=295-45x^{2}$$

Adăugați 45x^{2} la ambele părți.

$$575+200x+18x^{2}+45x^{2}=295$$

Combinați 18x^{2} cu 45x^{2} pentru a obține 63x^{2}.

$$575+200x+63x^{2}=295$$

Scădeți 575 din ambele părți.

$$200x+63x^{2}=295-575$$

Scădeți 575 din 295 pentru a obține -280.

$$200x+63x^{2}=-280$$

Ecuațiile de gradul doi ca aceasta pot fi rezolvate prin completarea pătratului. Pentru a completa pătratul, ecuația trebuie mai întâi să fie sub forma x^{2}+bx=c.

$$63x^{2}+200x=-280$$

Se împart ambele părți la 63.

$$\frac{63x^{2}+200x}{63}=-\frac{280}{63}$$

Împărțirea la 63 anulează înmulțirea cu 63.

$$x^{2}+\frac{200}{63}x=-\frac{280}{63}$$

Reduceți fracția \frac{-280}{63} la cei mai mici termeni, prin extragerea și reducerea 7.

$$x^{2}+\frac{200}{63}x=-\frac{40}{9}$$

Împărțiți \frac{200}{63}, coeficientul termenului x, la 2 pentru a obține \frac{100}{63}. Apoi, adunați pătratul lui \frac{100}{63} la ambele părți ale ecuației. Acest pas face din partea stângă a ecuației un pătrat perfect.

$$x^{2}+\frac{200}{63}x+\left(\frac{100}{63}\right)^{2}=-\frac{40}{9}+\left(\frac{100}{63}\right)^{2}$$

Ridicați \frac{100}{63} la pătrat, calculând pătratul pentru numărătorul și numitorul fracției.

$$x^{2}+\frac{200}{63}x+\frac{10000}{3969}=-\frac{40}{9}+\frac{10000}{3969}$$

Adunați -\frac{40}{9} cu \frac{10000}{3969} găsind un numitor comun și adunând numărătorii. Apoi simplificați fracția până devine ireductibilă, dacă este posibil.

$$x^{2}+\frac{200}{63}x+\frac{10000}{3969}=-\frac{7640}{3969}$$

Factor x^{2}+\frac{200}{63}x+\frac{10000}{3969}. În general, atunci când x^{2}+bx+c este un pătrat perfect, el poate fi descompus în factori oricând ca \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x+\frac{100}{63}\right)^{2}=-\frac{7640}{3969}$$

Aflați rădăcina pătrată pentru ambele părți ale ecuației.

$$\sqrt{\left(x+\frac{100}{63}\right)^{2}}=\sqrt{-\frac{7640}{3969}}$$

Simplificați.

$$x+\frac{100}{63}=\frac{2\sqrt{1910}i}{63} x+\frac{100}{63}=-\frac{2\sqrt{1910}i}{63}$$

Scădeți \frac{100}{63} din ambele părți ale ecuației.

$$x=\frac{-100+2\sqrt{1910}i}{63} x=\frac{-2\sqrt{1910}i-100}{63}$$