Rezolvați 24x^2+x-10

$$24 x ^ { 2 } + x - 10$$

Descompunere în factori

$$\left(8x-5\right)\left(3x+2\right)$$

Pașii soluției

Descompuneți expresia în factori prin grupare. Mai întâi, expresia trebuie să fie rescrisă ca 24x^{2}+ax+bx-10. Pentru a găsi a și b, configurați un sistem pentru a fi rezolvat.

$$a+b=1 ab=24\left(-10\right)=-240$$

Deoarece ab este negativ, a și b au semne opuse. Deoarece a+b este pozitiv, numărul pozitiv are o valoare absolută mai mare decât valoarea negativă. Listează toate perechi de valori întregi care oferă produse -240.

$$-1,240 -2,120 -3,80 -4,60 -5,48 -6,40 -8,30 -10,24 -12,20 -15,16$$

Calculați suma pentru fiecare pereche.

$$-1+240=239 -2+120=118 -3+80=77 -4+60=56 -5+48=43 -6+40=34 -8+30=22 -10+24=14 -12+20=8 -15+16=1$$

Soluția este perechea care dă suma de 1.

$$a=-15 b=16$$

Rescrieți 24x^{2}+x-10 ca \left(24x^{2}-15x\right)+\left(16x-10\right).

$$\left(24x^{2}-15x\right)+\left(16x-10\right)$$

Factor 3x în primul și 2 în al doilea grup.

$$3x\left(8x-5\right)+2\left(8x-5\right)$$

Scoateți termenul comun 8x-5 prin utilizarea proprietății de distributivitate.

$$\left(8x-5\right)\left(3x+2\right)$$

Pași folosind formula rădăcinilor ecuației de gradul al doilea

Polinomul de gradul doi se poate descompune în factori folosind transformarea ax^{2}+bx+c=a\left(x-x_{1}\right)\left(x-x_{2}\right), unde x_{1} și x_{2} sunt soluțiile ecuației de gradul doi ax^{2}+bx+c=0.

$$24x^{2}+x-10=0$$

Toate ecuațiile de forma ax^{2}+bx+c=0 pot fi rezolvate utilizând formula rădăcinilor ecuației de gradul al doilea: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Formula rădăcinilor ecuației de gradul al doilea oferă două soluții, una atunci când operația ± este de adunare și una atunci când este de scădere.

$$x=\frac{-1±\sqrt{1^{2}-4\times 24\left(-10\right)}}{2\times 24}$$

Ridicați 1 la pătrat.

$$x=\frac{-1±\sqrt{1-4\times 24\left(-10\right)}}{2\times 24}$$

Înmulțiți -4 cu 24.

$$x=\frac{-1±\sqrt{1-96\left(-10\right)}}{2\times 24}$$

Înmulțiți -96 cu -10.

$$x=\frac{-1±\sqrt{1+960}}{2\times 24}$$

Adunați 1 cu 960.

$$x=\frac{-1±\sqrt{961}}{2\times 24}$$

Aflați rădăcina pătrată pentru 961.

$$x=\frac{-1±31}{2\times 24}$$

Înmulțiți 2 cu 24.

$$x=\frac{-1±31}{48}$$

Acum rezolvați ecuația x=\frac{-1±31}{48} atunci când ± este plus. Adunați -1 cu 31.

$$x=\frac{30}{48}$$

Reduceți fracția \frac{30}{48} la cei mai mici termeni, prin extragerea și reducerea 6.

$$x=\frac{5}{8}$$

Acum rezolvați ecuația x=\frac{-1±31}{48} atunci când ± este minus. Scădeți 31 din -1.

$$x=-\frac{32}{48}$$

Reduceți fracția \frac{-32}{48} la cei mai mici termeni, prin extragerea și reducerea 16.

$$x=-\frac{2}{3}$$

Descompuneți în factori expresia inițială utilizând ax^{2}+bx+c=a\left(x-x_{1}\right)\left(x-x_{2}\right). Înlocuiți x_{1} cu \frac{5}{8} și x_{2} cu -\frac{2}{3}.

$$24x^{2}+x-10=24\left(x-\frac{5}{8}\right)\left(x-\left(-\frac{2}{3}\right)\right)$$

Simplificați toate expresiile formei p-\left(-q\right) la p+q.

$$24x^{2}+x-10=24\left(x-\frac{5}{8}\right)\left(x+\frac{2}{3}\right)$$

Scădeți \frac{5}{8} din x găsind un numitor comun și scăzând numărătorii. Apoi simplificați fracția până devine ireductibilă, dacă este posibil.

$$24x^{2}+x-10=24\times \frac{8x-5}{8}\left(x+\frac{2}{3}\right)$$

Adunați \frac{2}{3} cu x găsind un numitor comun și adunând numărătorii. Apoi simplificați fracția până devine ireductibilă, dacă este posibil.

$$24x^{2}+x-10=24\times \frac{8x-5}{8}\times \frac{3x+2}{3}$$

Înmulțiți \frac{8x-5}{8} cu \frac{3x+2}{3} prin înmulțirea valorilor de la numărător și a valorilor de la numitor. Apoi simplificați fracția până devine ireductibilă, dacă este posibil.

$$24x^{2}+x-10=24\times \frac{\left(8x-5\right)\left(3x+2\right)}{8\times 3}$$

Înmulțiți 8 cu 3.

$$24x^{2}+x-10=24\times \frac{\left(8x-5\right)\left(3x+2\right)}{24}$$

Simplificați cu 24, cel mai mare factor comun din 24 și 24.

$$24x^{2}+x-10=\left(8x-5\right)\left(3x+2\right)$$

Evaluați

$$24x^{2}+x-10$$