Rezolvați 24x^2+6x-3=0

$$24 x ^ { 2 } + 6 x - 3 = 0$$

Rezolvați pentru x

$$x=-\frac{1}{2}=-0,5$$

$$x=\frac{1}{4}=0,25$$

Pași utilizând descompunerea în factori prin grupare

Se împart ambele părți la 3.

$$8x^{2}+2x-1=0$$

Pentru a rezolva ecuația, factor mâna stângă după grupare. Mai întâi, fața la stânga trebuie să fie rescrisă ca 8x^{2}+ax+bx-1. Pentru a găsi a și b, configurați un sistem pentru a fi rezolvat.

$$a+b=2 ab=8\left(-1\right)=-8$$

Deoarece ab este negativ, a și b au semne opuse. Deoarece a+b este pozitiv, numărul pozitiv are o valoare absolută mai mare decât valoarea negativă. Listează toate perechi de valori întregi care oferă produse -8.

$$-1,8 -2,4$$

Calculați suma pentru fiecare pereche.

$$-1+8=7 -2+4=2$$

Soluția este perechea care dă suma de 2.

$$a=-2 b=4$$

Rescrieți 8x^{2}+2x-1 ca \left(8x^{2}-2x\right)+\left(4x-1\right).

$$\left(8x^{2}-2x\right)+\left(4x-1\right)$$

Scoateți factorul comun 2x din 8x^{2}-2x.

$$2x\left(4x-1\right)+4x-1$$

Scoateți termenul comun 4x-1 prin utilizarea proprietății de distributivitate.

$$\left(4x-1\right)\left(2x+1\right)$$

Pentru a găsi soluții de ecuații, rezolvați 4x-1=0 și 2x+1=0.

$$x=\frac{1}{4} x=-\frac{1}{2}$$

Pași folosind formula rădăcinilor ecuației de gradul al doilea

Toate ecuațiile de forma ax^{2}+bx+c=0 pot fi rezolvate utilizând formula rădăcinilor ecuației de gradul al doilea: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Formula rădăcinilor ecuației de gradul al doilea oferă două soluții, una atunci când operația ± este de adunare și una atunci când este de scădere.

$$24x^{2}+6x-3=0$$

Această ecuație este în formă standard: ax^{2}+bx+c=0. Înlocuiți a cu 24, b cu 6 și c cu -3 în formula rădăcinilor ecuațiilor de gradul al doilea, \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-6±\sqrt{6^{2}-4\times 24\left(-3\right)}}{2\times 24}$$

Ridicați 6 la pătrat.

$$x=\frac{-6±\sqrt{36-4\times 24\left(-3\right)}}{2\times 24}$$

Înmulțiți -4 cu 24.

$$x=\frac{-6±\sqrt{36-96\left(-3\right)}}{2\times 24}$$

Înmulțiți -96 cu -3.

$$x=\frac{-6±\sqrt{36+288}}{2\times 24}$$

Adunați 36 cu 288.

$$x=\frac{-6±\sqrt{324}}{2\times 24}$$

Aflați rădăcina pătrată pentru 324.

$$x=\frac{-6±18}{2\times 24}$$

Înmulțiți 2 cu 24.

$$x=\frac{-6±18}{48}$$

Acum rezolvați ecuația x=\frac{-6±18}{48} atunci când ± este plus. Adunați -6 cu 18.

$$x=\frac{12}{48}$$

Reduceți fracția \frac{12}{48} la cei mai mici termeni, prin extragerea și reducerea 12.

$$x=\frac{1}{4}$$

Acum rezolvați ecuația x=\frac{-6±18}{48} atunci când ± este minus. Scădeți 18 din -6.

$$x=-\frac{24}{48}$$

Reduceți fracția \frac{-24}{48} la cei mai mici termeni, prin extragerea și reducerea 24.

$$x=-\frac{1}{2}$$

Ecuația este rezolvată acum.

$$x=\frac{1}{4} x=-\frac{1}{2}$$

Pași pentru completarea pătratului

Ecuațiile de gradul doi ca aceasta pot fi rezolvate prin completarea pătratului. Pentru a completa pătratul, ecuația trebuie mai întâi să fie sub forma x^{2}+bx=c.

$$24x^{2}+6x-3=0$$

Adunați 3 la ambele părți ale ecuației.

$$24x^{2}+6x-3-\left(-3\right)=-\left(-3\right)$$

Scăderea -3 din el însuși are ca rezultat 0.

$$24x^{2}+6x=-\left(-3\right)$$

Scădeți -3 din 0.

$$24x^{2}+6x=3$$

Se împart ambele părți la 24.

$$\frac{24x^{2}+6x}{24}=\frac{3}{24}$$

Împărțirea la 24 anulează înmulțirea cu 24.

$$x^{2}+\frac{6}{24}x=\frac{3}{24}$$

Reduceți fracția \frac{6}{24} la cei mai mici termeni, prin extragerea și reducerea 6.

$$x^{2}+\frac{1}{4}x=\frac{3}{24}$$

Reduceți fracția \frac{3}{24} la cei mai mici termeni, prin extragerea și reducerea 3.

$$x^{2}+\frac{1}{4}x=\frac{1}{8}$$

Împărțiți \frac{1}{4}, coeficientul termenului x, la 2 pentru a obține \frac{1}{8}. Apoi, adunați pătratul lui \frac{1}{8} la ambele părți ale ecuației. Acest pas face din partea stângă a ecuației un pătrat perfect.

$$x^{2}+\frac{1}{4}x+\left(\frac{1}{8}\right)^{2}=\frac{1}{8}+\left(\frac{1}{8}\right)^{2}$$

Ridicați \frac{1}{8} la pătrat, calculând pătratul pentru numărătorul și numitorul fracției.

$$x^{2}+\frac{1}{4}x+\frac{1}{64}=\frac{1}{8}+\frac{1}{64}$$

Adunați \frac{1}{8} cu \frac{1}{64} găsind un numitor comun și adunând numărătorii. Apoi simplificați fracția până devine ireductibilă, dacă este posibil.

$$x^{2}+\frac{1}{4}x+\frac{1}{64}=\frac{9}{64}$$

Factor x^{2}+\frac{1}{4}x+\frac{1}{64}. În general, atunci când x^{2}+bx+c este un pătrat perfect, el poate fi descompus în factori oricând ca \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x+\frac{1}{8}\right)^{2}=\frac{9}{64}$$

Aflați rădăcina pătrată pentru ambele părți ale ecuației.

$$\sqrt{\left(x+\frac{1}{8}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{9}{64}}$$

Simplificați.

$$x+\frac{1}{8}=\frac{3}{8} x+\frac{1}{8}=-\frac{3}{8}$$

Scădeți \frac{1}{8} din ambele părți ale ecuației.

$$x=\frac{1}{4} x=-\frac{1}{2}$$