Rezolvați 24x^2+1-11x

$$24 x ^ { 2 } + 1 - 11 x$$

Descompunere în factori

$$\left(3x-1\right)\left(8x-1\right)$$

Pașii soluției

Rearanjați polinomul pentru a-l pune în formă standard. Plasați termenii în ordine de la cel mai mare la puterea minimă.

$$24x^{2}-11x+1$$

Descompuneți expresia în factori prin grupare. Mai întâi, expresia trebuie să fie rescrisă ca 24x^{2}+ax+bx+1. Pentru a găsi a și b, configurați un sistem pentru a fi rezolvat.

$$a+b=-11 ab=24\times 1=24$$

Deoarece ab este pozitiv, a și b au același semn. Deoarece a+b este negativ, a și b sunt negative. Listează toate perechi de valori întregi care oferă produse 24.

$$-1,-24 -2,-12 -3,-8 -4,-6$$

Calculați suma pentru fiecare pereche.

$$-1-24=-25 -2-12=-14 -3-8=-11 -4-6=-10$$

Soluția este perechea care dă suma de -11.

$$a=-8 b=-3$$

Rescrieți 24x^{2}-11x+1 ca \left(24x^{2}-8x\right)+\left(-3x+1\right).

$$\left(24x^{2}-8x\right)+\left(-3x+1\right)$$

Factor 8x în primul și -1 în al doilea grup.

$$8x\left(3x-1\right)-\left(3x-1\right)$$

Scoateți termenul comun 3x-1 prin utilizarea proprietății de distributivitate.

$$\left(3x-1\right)\left(8x-1\right)$$

Pași folosind formula rădăcinilor ecuației de gradul al doilea

Polinomul de gradul doi se poate descompune în factori folosind transformarea ax^{2}+bx+c=a\left(x-x_{1}\right)\left(x-x_{2}\right), unde x_{1} și x_{2} sunt soluțiile ecuației de gradul doi ax^{2}+bx+c=0.

$$24x^{2}-11x+1=0$$

Toate ecuațiile de forma ax^{2}+bx+c=0 pot fi rezolvate utilizând formula rădăcinilor ecuației de gradul al doilea: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Formula rădăcinilor ecuației de gradul al doilea oferă două soluții, una atunci când operația ± este de adunare și una atunci când este de scădere.

$$x=\frac{-\left(-11\right)±\sqrt{\left(-11\right)^{2}-4\times 24}}{2\times 24}$$

Ridicați -11 la pătrat.

$$x=\frac{-\left(-11\right)±\sqrt{121-4\times 24}}{2\times 24}$$

Înmulțiți -4 cu 24.

$$x=\frac{-\left(-11\right)±\sqrt{121-96}}{2\times 24}$$

Adunați 121 cu -96.

$$x=\frac{-\left(-11\right)±\sqrt{25}}{2\times 24}$$

Aflați rădăcina pătrată pentru 25.

$$x=\frac{-\left(-11\right)±5}{2\times 24}$$

Opusul lui -11 este 11.

$$x=\frac{11±5}{2\times 24}$$

Înmulțiți 2 cu 24.

$$x=\frac{11±5}{48}$$

Acum rezolvați ecuația x=\frac{11±5}{48} atunci când ± este plus. Adunați 11 cu 5.

$$x=\frac{16}{48}$$

Reduceți fracția \frac{16}{48} la cei mai mici termeni, prin extragerea și reducerea 16.

$$x=\frac{1}{3}$$

Acum rezolvați ecuația x=\frac{11±5}{48} atunci când ± este minus. Scădeți 5 din 11.

$$x=\frac{6}{48}$$

Reduceți fracția \frac{6}{48} la cei mai mici termeni, prin extragerea și reducerea 6.

$$x=\frac{1}{8}$$

Descompuneți în factori expresia inițială utilizând ax^{2}+bx+c=a\left(x-x_{1}\right)\left(x-x_{2}\right). Înlocuiți x_{1} cu \frac{1}{3} și x_{2} cu \frac{1}{8}.

$$24x^{2}-11x+1=24\left(x-\frac{1}{3}\right)\left(x-\frac{1}{8}\right)$$

Scădeți \frac{1}{3} din x găsind un numitor comun și scăzând numărătorii. Apoi simplificați fracția până devine ireductibilă, dacă este posibil.

$$24x^{2}-11x+1=24\times \frac{3x-1}{3}\left(x-\frac{1}{8}\right)$$

Scădeți \frac{1}{8} din x găsind un numitor comun și scăzând numărătorii. Apoi simplificați fracția până devine ireductibilă, dacă este posibil.

$$24x^{2}-11x+1=24\times \frac{3x-1}{3}\times \frac{8x-1}{8}$$

Înmulțiți \frac{3x-1}{3} cu \frac{8x-1}{8} prin înmulțirea valorilor de la numărător și a valorilor de la numitor. Apoi simplificați fracția până devine ireductibilă, dacă este posibil.

$$24x^{2}-11x+1=24\times \frac{\left(3x-1\right)\left(8x-1\right)}{3\times 8}$$

Înmulțiți 3 cu 8.

$$24x^{2}-11x+1=24\times \frac{\left(3x-1\right)\left(8x-1\right)}{24}$$

Simplificați cu 24, cel mai mare factor comun din 24 și 24.

$$24x^{2}-11x+1=\left(3x-1\right)\left(8x-1\right)$$

Evaluați

$$\left(3x-1\right)\left(8x-1\right)$$