Rezolvați 24a^2-60a+352=0

$$24 a ^ { 2 } - 60 a + 352 = 0$$

Rezolvați pentru a

$$a=\frac{\sqrt{1887}i}{12}+\frac{5}{4}\approx 1,25+3,619967771i$$

$$a=-\frac{\sqrt{1887}i}{12}+\frac{5}{4}\approx 1,25-3,619967771i$$

Pași folosind formula rădăcinilor ecuației de gradul al doilea

Toate ecuațiile de forma ax^{2}+bx+c=0 pot fi rezolvate utilizând formula rădăcinilor ecuației de gradul al doilea: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Formula rădăcinilor ecuației de gradul al doilea oferă două soluții, una atunci când operația ± este de adunare și una atunci când este de scădere.

$$24a^{2}-60a+352=0$$

Această ecuație este în formă standard: ax^{2}+bx+c=0. Înlocuiți a cu 24, b cu -60 și c cu 352 în formula rădăcinilor ecuațiilor de gradul al doilea, \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$a=\frac{-\left(-60\right)±\sqrt{\left(-60\right)^{2}-4\times 24\times 352}}{2\times 24}$$

Ridicați -60 la pătrat.

$$a=\frac{-\left(-60\right)±\sqrt{3600-4\times 24\times 352}}{2\times 24}$$

Înmulțiți -4 cu 24.

$$a=\frac{-\left(-60\right)±\sqrt{3600-96\times 352}}{2\times 24}$$

Înmulțiți -96 cu 352.

$$a=\frac{-\left(-60\right)±\sqrt{3600-33792}}{2\times 24}$$

Adunați 3600 cu -33792.

$$a=\frac{-\left(-60\right)±\sqrt{-30192}}{2\times 24}$$

Aflați rădăcina pătrată pentru -30192.

$$a=\frac{-\left(-60\right)±4\sqrt{1887}i}{2\times 24}$$

Opusul lui -60 este 60.

$$a=\frac{60±4\sqrt{1887}i}{2\times 24}$$

Înmulțiți 2 cu 24.

$$a=\frac{60±4\sqrt{1887}i}{48}$$

Acum rezolvați ecuația a=\frac{60±4\sqrt{1887}i}{48} atunci când ± este plus. Adunați 60 cu 4i\sqrt{1887}.

$$a=\frac{60+4\sqrt{1887}i}{48}$$

Împărțiți 60+4i\sqrt{1887} la 48.

$$a=\frac{\sqrt{1887}i}{12}+\frac{5}{4}$$

Acum rezolvați ecuația a=\frac{60±4\sqrt{1887}i}{48} atunci când ± este minus. Scădeți 4i\sqrt{1887} din 60.

$$a=\frac{-4\sqrt{1887}i+60}{48}$$

Împărțiți 60-4i\sqrt{1887} la 48.

$$a=-\frac{\sqrt{1887}i}{12}+\frac{5}{4}$$

Ecuația este rezolvată acum.

$$a=\frac{\sqrt{1887}i}{12}+\frac{5}{4} a=-\frac{\sqrt{1887}i}{12}+\frac{5}{4}$$

Pași pentru completarea pătratului

Ecuațiile de gradul doi ca aceasta pot fi rezolvate prin completarea pătratului. Pentru a completa pătratul, ecuația trebuie mai întâi să fie sub forma x^{2}+bx=c.

$$24a^{2}-60a+352=0$$

Scădeți 352 din ambele părți ale ecuației.

$$24a^{2}-60a+352-352=-352$$

Scăderea 352 din el însuși are ca rezultat 0.

$$24a^{2}-60a=-352$$

Se împart ambele părți la 24.

$$\frac{24a^{2}-60a}{24}=-\frac{352}{24}$$

Împărțirea la 24 anulează înmulțirea cu 24.

$$a^{2}+\left(-\frac{60}{24}\right)a=-\frac{352}{24}$$

Reduceți fracția \frac{-60}{24} la cei mai mici termeni, prin extragerea și reducerea 12.

$$a^{2}-\frac{5}{2}a=-\frac{352}{24}$$

Reduceți fracția \frac{-352}{24} la cei mai mici termeni, prin extragerea și reducerea 8.

$$a^{2}-\frac{5}{2}a=-\frac{44}{3}$$

Împărțiți -\frac{5}{2}, coeficientul termenului x, la 2 pentru a obține -\frac{5}{4}. Apoi, adunați pătratul lui -\frac{5}{4} la ambele părți ale ecuației. Acest pas face din partea stângă a ecuației un pătrat perfect.

$$a^{2}-\frac{5}{2}a+\left(-\frac{5}{4}\right)^{2}=-\frac{44}{3}+\left(-\frac{5}{4}\right)^{2}$$

Ridicați -\frac{5}{4} la pătrat, calculând pătratul pentru numărătorul și numitorul fracției.

$$a^{2}-\frac{5}{2}a+\frac{25}{16}=-\frac{44}{3}+\frac{25}{16}$$

Adunați -\frac{44}{3} cu \frac{25}{16} găsind un numitor comun și adunând numărătorii. Apoi simplificați fracția până devine ireductibilă, dacă este posibil.

$$a^{2}-\frac{5}{2}a+\frac{25}{16}=-\frac{629}{48}$$

Factor a^{2}-\frac{5}{2}a+\frac{25}{16}. În general, atunci când x^{2}+bx+c este un pătrat perfect, el poate fi descompus în factori oricând ca \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(a-\frac{5}{4}\right)^{2}=-\frac{629}{48}$$

Aflați rădăcina pătrată pentru ambele părți ale ecuației.

$$\sqrt{\left(a-\frac{5}{4}\right)^{2}}=\sqrt{-\frac{629}{48}}$$

Simplificați.

$$a-\frac{5}{4}=\frac{\sqrt{1887}i}{12} a-\frac{5}{4}=-\frac{\sqrt{1887}i}{12}$$

Adunați \frac{5}{4} la ambele părți ale ecuației.

$$a=\frac{\sqrt{1887}i}{12}+\frac{5}{4} a=-\frac{\sqrt{1887}i}{12}+\frac{5}{4}$$