Rezolvați 24x^2+17x-20

$$24 { x }^{ 2 } +17x-20$$

Descompunere în factori

$$\left(8x-5\right)\left(3x+4\right)$$

Pașii soluției

Descompuneți expresia în factori prin grupare. Mai întâi, expresia trebuie să fie rescrisă ca 24x^{2}+ax+bx-20. Pentru a găsi a și b, configurați un sistem pentru a fi rezolvat.

$$a+b=17 ab=24\left(-20\right)=-480$$

Deoarece ab este negativ, a și b au semne opuse. Deoarece a+b este pozitiv, numărul pozitiv are o valoare absolută mai mare decât valoarea negativă. Listează toate perechi de valori întregi care oferă produse -480.

$$-1,480 -2,240 -3,160 -4,120 -5,96 -6,80 -8,60 -10,48 -12,40 -15,32 -16,30 -20,24$$

Calculați suma pentru fiecare pereche.

$$-1+480=479 -2+240=238 -3+160=157 -4+120=116 -5+96=91 -6+80=74 -8+60=52 -10+48=38 -12+40=28 -15+32=17 -16+30=14 -20+24=4$$

Soluția este perechea care dă suma de 17.

$$a=-15 b=32$$

Rescrieți 24x^{2}+17x-20 ca \left(24x^{2}-15x\right)+\left(32x-20\right).

$$\left(24x^{2}-15x\right)+\left(32x-20\right)$$

Factor 3x în primul și 4 în al doilea grup.

$$3x\left(8x-5\right)+4\left(8x-5\right)$$

Scoateți termenul comun 8x-5 prin utilizarea proprietății de distributivitate.

$$\left(8x-5\right)\left(3x+4\right)$$

Pași folosind formula rădăcinilor ecuației de gradul al doilea

Polinomul de gradul doi se poate descompune în factori folosind transformarea ax^{2}+bx+c=a\left(x-x_{1}\right)\left(x-x_{2}\right), unde x_{1} și x_{2} sunt soluțiile ecuației de gradul doi ax^{2}+bx+c=0.

$$24x^{2}+17x-20=0$$

Toate ecuațiile de forma ax^{2}+bx+c=0 pot fi rezolvate utilizând formula rădăcinilor ecuației de gradul al doilea: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Formula rădăcinilor ecuației de gradul al doilea oferă două soluții, una atunci când operația ± este de adunare și una atunci când este de scădere.

$$x=\frac{-17±\sqrt{17^{2}-4\times 24\left(-20\right)}}{2\times 24}$$

Ridicați 17 la pătrat.

$$x=\frac{-17±\sqrt{289-4\times 24\left(-20\right)}}{2\times 24}$$

Înmulțiți -4 cu 24.

$$x=\frac{-17±\sqrt{289-96\left(-20\right)}}{2\times 24}$$

Înmulțiți -96 cu -20.

$$x=\frac{-17±\sqrt{289+1920}}{2\times 24}$$

Adunați 289 cu 1920.

$$x=\frac{-17±\sqrt{2209}}{2\times 24}$$

Aflați rădăcina pătrată pentru 2209.

$$x=\frac{-17±47}{2\times 24}$$

Înmulțiți 2 cu 24.

$$x=\frac{-17±47}{48}$$

Acum rezolvați ecuația x=\frac{-17±47}{48} atunci când ± este plus. Adunați -17 cu 47.

$$x=\frac{30}{48}$$

Reduceți fracția \frac{30}{48} la cei mai mici termeni, prin extragerea și reducerea 6.

$$x=\frac{5}{8}$$

Acum rezolvați ecuația x=\frac{-17±47}{48} atunci când ± este minus. Scădeți 47 din -17.

$$x=-\frac{64}{48}$$

Reduceți fracția \frac{-64}{48} la cei mai mici termeni, prin extragerea și reducerea 16.

$$x=-\frac{4}{3}$$

Descompuneți în factori expresia inițială utilizând ax^{2}+bx+c=a\left(x-x_{1}\right)\left(x-x_{2}\right). Înlocuiți x_{1} cu \frac{5}{8} și x_{2} cu -\frac{4}{3}.

$$24x^{2}+17x-20=24\left(x-\frac{5}{8}\right)\left(x-\left(-\frac{4}{3}\right)\right)$$

Simplificați toate expresiile formei p-\left(-q\right) la p+q.

$$24x^{2}+17x-20=24\left(x-\frac{5}{8}\right)\left(x+\frac{4}{3}\right)$$

Scădeți \frac{5}{8} din x găsind un numitor comun și scăzând numărătorii. Apoi simplificați fracția până devine ireductibilă, dacă este posibil.

$$24x^{2}+17x-20=24\times \frac{8x-5}{8}\left(x+\frac{4}{3}\right)$$

Adunați \frac{4}{3} cu x găsind un numitor comun și adunând numărătorii. Apoi simplificați fracția până devine ireductibilă, dacă este posibil.

$$24x^{2}+17x-20=24\times \frac{8x-5}{8}\times \frac{3x+4}{3}$$

Înmulțiți \frac{8x-5}{8} cu \frac{3x+4}{3} prin înmulțirea valorilor de la numărător și a valorilor de la numitor. Apoi simplificați fracția până devine ireductibilă, dacă este posibil.

$$24x^{2}+17x-20=24\times \frac{\left(8x-5\right)\left(3x+4\right)}{8\times 3}$$

Înmulțiți 8 cu 3.

$$24x^{2}+17x-20=24\times \frac{\left(8x-5\right)\left(3x+4\right)}{24}$$

Simplificați cu 24, cel mai mare factor comun din 24 și 24.

$$24x^{2}+17x-20=\left(8x-5\right)\left(3x+4\right)$$

Evaluați

$$\left(8x-5\right)\left(3x+4\right)$$