Rezolvați 219x^2-12x+4=0

$$219 x ^ { 2 } - 12 x + 4 = 0$$

Rezolvați pentru x (complex solution)

$$x=\frac{2\sqrt{210}i}{219}+\frac{2}{73}\approx 0,02739726+0,13234134i$$

$$x=-\frac{2\sqrt{210}i}{219}+\frac{2}{73}\approx 0,02739726-0,13234134i$$

Pași folosind formula rădăcinilor ecuației de gradul al doilea

Toate ecuațiile de forma ax^{2}+bx+c=0 pot fi rezolvate utilizând formula rădăcinilor ecuației de gradul al doilea: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Formula rădăcinilor ecuației de gradul al doilea oferă două soluții, una atunci când operația ± este de adunare și una atunci când este de scădere.

$$219x^{2}-12x+4=0$$

Această ecuație este în formă standard: ax^{2}+bx+c=0. Înlocuiți a cu 219, b cu -12 și c cu 4 în formula rădăcinilor ecuațiilor de gradul al doilea, \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-\left(-12\right)±\sqrt{\left(-12\right)^{2}-4\times 219\times 4}}{2\times 219}$$

Ridicați -12 la pătrat.

$$x=\frac{-\left(-12\right)±\sqrt{144-4\times 219\times 4}}{2\times 219}$$

Înmulțiți -4 cu 219.

$$x=\frac{-\left(-12\right)±\sqrt{144-876\times 4}}{2\times 219}$$

Înmulțiți -876 cu 4.

$$x=\frac{-\left(-12\right)±\sqrt{144-3504}}{2\times 219}$$

Adunați 144 cu -3504.

$$x=\frac{-\left(-12\right)±\sqrt{-3360}}{2\times 219}$$

Aflați rădăcina pătrată pentru -3360.

$$x=\frac{-\left(-12\right)±4\sqrt{210}i}{2\times 219}$$

Opusul lui -12 este 12.

$$x=\frac{12±4\sqrt{210}i}{2\times 219}$$

Înmulțiți 2 cu 219.

$$x=\frac{12±4\sqrt{210}i}{438}$$

Acum rezolvați ecuația x=\frac{12±4\sqrt{210}i}{438} atunci când ± este plus. Adunați 12 cu 4i\sqrt{210}.

$$x=\frac{12+4\sqrt{210}i}{438}$$

Împărțiți 12+4i\sqrt{210} la 438.

$$x=\frac{2\sqrt{210}i}{219}+\frac{2}{73}$$

Acum rezolvați ecuația x=\frac{12±4\sqrt{210}i}{438} atunci când ± este minus. Scădeți 4i\sqrt{210} din 12.

$$x=\frac{-4\sqrt{210}i+12}{438}$$

Împărțiți 12-4i\sqrt{210} la 438.

$$x=-\frac{2\sqrt{210}i}{219}+\frac{2}{73}$$

Ecuația este rezolvată acum.

$$x=\frac{2\sqrt{210}i}{219}+\frac{2}{73} x=-\frac{2\sqrt{210}i}{219}+\frac{2}{73}$$

Pași pentru completarea pătratului

Ecuațiile de gradul doi ca aceasta pot fi rezolvate prin completarea pătratului. Pentru a completa pătratul, ecuația trebuie mai întâi să fie sub forma x^{2}+bx=c.

$$219x^{2}-12x+4=0$$

Scădeți 4 din ambele părți ale ecuației.

$$219x^{2}-12x+4-4=-4$$

Scăderea 4 din el însuși are ca rezultat 0.

$$219x^{2}-12x=-4$$

Se împart ambele părți la 219.

$$\frac{219x^{2}-12x}{219}=-\frac{4}{219}$$

Împărțirea la 219 anulează înmulțirea cu 219.

$$x^{2}+\left(-\frac{12}{219}\right)x=-\frac{4}{219}$$

Reduceți fracția \frac{-12}{219} la cei mai mici termeni, prin extragerea și reducerea 3.

$$x^{2}-\frac{4}{73}x=-\frac{4}{219}$$

Împărțiți -\frac{4}{73}, coeficientul termenului x, la 2 pentru a obține -\frac{2}{73}. Apoi, adunați pătratul lui -\frac{2}{73} la ambele părți ale ecuației. Acest pas face din partea stângă a ecuației un pătrat perfect.

$$x^{2}-\frac{4}{73}x+\left(-\frac{2}{73}\right)^{2}=-\frac{4}{219}+\left(-\frac{2}{73}\right)^{2}$$

Ridicați -\frac{2}{73} la pătrat, calculând pătratul pentru numărătorul și numitorul fracției.

$$x^{2}-\frac{4}{73}x+\frac{4}{5329}=-\frac{4}{219}+\frac{4}{5329}$$

Adunați -\frac{4}{219} cu \frac{4}{5329} găsind un numitor comun și adunând numărătorii. Apoi simplificați fracția până devine ireductibilă, dacă este posibil.

$$x^{2}-\frac{4}{73}x+\frac{4}{5329}=-\frac{280}{15987}$$

Factor x^{2}-\frac{4}{73}x+\frac{4}{5329}. În general, atunci când x^{2}+bx+c este un pătrat perfect, el poate fi descompus în factori oricând ca \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x-\frac{2}{73}\right)^{2}=-\frac{280}{15987}$$

Aflați rădăcina pătrată pentru ambele părți ale ecuației.

$$\sqrt{\left(x-\frac{2}{73}\right)^{2}}=\sqrt{-\frac{280}{15987}}$$

Simplificați.

$$x-\frac{2}{73}=\frac{2\sqrt{210}i}{219} x-\frac{2}{73}=-\frac{2\sqrt{210}i}{219}$$

Adunați \frac{2}{73} la ambele părți ale ecuației.

$$x=\frac{2\sqrt{210}i}{219}+\frac{2}{73} x=-\frac{2\sqrt{210}i}{219}+\frac{2}{73}$$