Rezolvați 21x^2+11x-2

$$21 x ^ { 2 } + 11 x - 2$$

Descompunere în factori

$$\left(7x-1\right)\left(3x+2\right)$$

Pașii soluției

Descompuneți expresia în factori prin grupare. Mai întâi, expresia trebuie să fie rescrisă ca 21x^{2}+ax+bx-2. Pentru a găsi a și b, configurați un sistem pentru a fi rezolvat.

$$a+b=11 ab=21\left(-2\right)=-42$$

Deoarece ab este negativ, a și b au semne opuse. Deoarece a+b este pozitiv, numărul pozitiv are o valoare absolută mai mare decât valoarea negativă. Listează toate perechi de valori întregi care oferă produse -42.

$$-1,42 -2,21 -3,14 -6,7$$

Calculați suma pentru fiecare pereche.

$$-1+42=41 -2+21=19 -3+14=11 -6+7=1$$

Soluția este perechea care dă suma de 11.

$$a=-3 b=14$$

Rescrieți 21x^{2}+11x-2 ca \left(21x^{2}-3x\right)+\left(14x-2\right).

$$\left(21x^{2}-3x\right)+\left(14x-2\right)$$

Factor 3x în primul și 2 în al doilea grup.

$$3x\left(7x-1\right)+2\left(7x-1\right)$$

Scoateți termenul comun 7x-1 prin utilizarea proprietății de distributivitate.

$$\left(7x-1\right)\left(3x+2\right)$$

Pași folosind formula rădăcinilor ecuației de gradul al doilea

Polinomul de gradul doi se poate descompune în factori folosind transformarea ax^{2}+bx+c=a\left(x-x_{1}\right)\left(x-x_{2}\right), unde x_{1} și x_{2} sunt soluțiile ecuației de gradul doi ax^{2}+bx+c=0.

$$21x^{2}+11x-2=0$$

Toate ecuațiile de forma ax^{2}+bx+c=0 pot fi rezolvate utilizând formula rădăcinilor ecuației de gradul al doilea: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Formula rădăcinilor ecuației de gradul al doilea oferă două soluții, una atunci când operația ± este de adunare și una atunci când este de scădere.

$$x=\frac{-11±\sqrt{11^{2}-4\times 21\left(-2\right)}}{2\times 21}$$

Ridicați 11 la pătrat.

$$x=\frac{-11±\sqrt{121-4\times 21\left(-2\right)}}{2\times 21}$$

Înmulțiți -4 cu 21.

$$x=\frac{-11±\sqrt{121-84\left(-2\right)}}{2\times 21}$$

Înmulțiți -84 cu -2.

$$x=\frac{-11±\sqrt{121+168}}{2\times 21}$$

Adunați 121 cu 168.

$$x=\frac{-11±\sqrt{289}}{2\times 21}$$

Aflați rădăcina pătrată pentru 289.

$$x=\frac{-11±17}{2\times 21}$$

Înmulțiți 2 cu 21.

$$x=\frac{-11±17}{42}$$

Acum rezolvați ecuația x=\frac{-11±17}{42} atunci când ± este plus. Adunați -11 cu 17.

$$x=\frac{6}{42}$$

Reduceți fracția \frac{6}{42} la cei mai mici termeni, prin extragerea și reducerea 6.

$$x=\frac{1}{7}$$

Acum rezolvați ecuația x=\frac{-11±17}{42} atunci când ± este minus. Scădeți 17 din -11.

$$x=-\frac{28}{42}$$

Reduceți fracția \frac{-28}{42} la cei mai mici termeni, prin extragerea și reducerea 14.

$$x=-\frac{2}{3}$$

Descompuneți în factori expresia inițială utilizând ax^{2}+bx+c=a\left(x-x_{1}\right)\left(x-x_{2}\right). Înlocuiți x_{1} cu \frac{1}{7} și x_{2} cu -\frac{2}{3}.

$$21x^{2}+11x-2=21\left(x-\frac{1}{7}\right)\left(x-\left(-\frac{2}{3}\right)\right)$$

Simplificați toate expresiile formei p-\left(-q\right) la p+q.

$$21x^{2}+11x-2=21\left(x-\frac{1}{7}\right)\left(x+\frac{2}{3}\right)$$

Scădeți \frac{1}{7} din x găsind un numitor comun și scăzând numărătorii. Apoi simplificați fracția până devine ireductibilă, dacă este posibil.

$$21x^{2}+11x-2=21\times \frac{7x-1}{7}\left(x+\frac{2}{3}\right)$$

Adunați \frac{2}{3} cu x găsind un numitor comun și adunând numărătorii. Apoi simplificați fracția până devine ireductibilă, dacă este posibil.

$$21x^{2}+11x-2=21\times \frac{7x-1}{7}\times \frac{3x+2}{3}$$

Înmulțiți \frac{7x-1}{7} cu \frac{3x+2}{3} prin înmulțirea valorilor de la numărător și a valorilor de la numitor. Apoi simplificați fracția până devine ireductibilă, dacă este posibil.

$$21x^{2}+11x-2=21\times \frac{\left(7x-1\right)\left(3x+2\right)}{7\times 3}$$

Înmulțiți 7 cu 3.

$$21x^{2}+11x-2=21\times \frac{\left(7x-1\right)\left(3x+2\right)}{21}$$

Simplificați cu 21, cel mai mare factor comun din 21 și 21.

$$21x^{2}+11x-2=\left(7x-1\right)\left(3x+2\right)$$

Evaluați

$$\left(7x-1\right)\left(3x+2\right)$$