Rezolvați 21x^2-x-2

$$21 { x }^{ 2 } -x-2$$

Descompunere în factori

$$\left(3x-1\right)\left(7x+2\right)$$

Pașii soluției

Descompuneți expresia în factori prin grupare. Mai întâi, expresia trebuie să fie rescrisă ca 21x^{2}+ax+bx-2. Pentru a găsi a și b, configurați un sistem pentru a fi rezolvat.

$$a+b=-1 ab=21\left(-2\right)=-42$$

Deoarece ab este negativ, a și b au semne opuse. Deoarece a+b este negativ, numărul negativ are o valoare absolută mai mare decât valoarea pozitivă. Listează toate perechi de valori întregi care oferă produse -42.

$$1,-42 2,-21 3,-14 6,-7$$

Calculați suma pentru fiecare pereche.

$$1-42=-41 2-21=-19 3-14=-11 6-7=-1$$

Soluția este perechea care dă suma de -1.

$$a=-7 b=6$$

Rescrieți 21x^{2}-x-2 ca \left(21x^{2}-7x\right)+\left(6x-2\right).

$$\left(21x^{2}-7x\right)+\left(6x-2\right)$$

Factor 7x în primul și 2 în al doilea grup.

$$7x\left(3x-1\right)+2\left(3x-1\right)$$

Scoateți termenul comun 3x-1 prin utilizarea proprietății de distributivitate.

$$\left(3x-1\right)\left(7x+2\right)$$

Pași folosind formula rădăcinilor ecuației de gradul al doilea

Polinomul de gradul doi se poate descompune în factori folosind transformarea ax^{2}+bx+c=a\left(x-x_{1}\right)\left(x-x_{2}\right), unde x_{1} și x_{2} sunt soluțiile ecuației de gradul doi ax^{2}+bx+c=0.

$$21x^{2}-x-2=0$$

Toate ecuațiile de forma ax^{2}+bx+c=0 pot fi rezolvate utilizând formula rădăcinilor ecuației de gradul al doilea: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Formula rădăcinilor ecuației de gradul al doilea oferă două soluții, una atunci când operația ± este de adunare și una atunci când este de scădere.

$$x=\frac{-\left(-1\right)±\sqrt{1-4\times 21\left(-2\right)}}{2\times 21}$$

Înmulțiți -4 cu 21.

$$x=\frac{-\left(-1\right)±\sqrt{1-84\left(-2\right)}}{2\times 21}$$

Înmulțiți -84 cu -2.

$$x=\frac{-\left(-1\right)±\sqrt{1+168}}{2\times 21}$$

Adunați 1 cu 168.

$$x=\frac{-\left(-1\right)±\sqrt{169}}{2\times 21}$$

Aflați rădăcina pătrată pentru 169.

$$x=\frac{-\left(-1\right)±13}{2\times 21}$$

Opusul lui -1 este 1.

$$x=\frac{1±13}{2\times 21}$$

Înmulțiți 2 cu 21.

$$x=\frac{1±13}{42}$$

Acum rezolvați ecuația x=\frac{1±13}{42} atunci când ± este plus. Adunați 1 cu 13.

$$x=\frac{14}{42}$$

Reduceți fracția \frac{14}{42} la cei mai mici termeni, prin extragerea și reducerea 14.

$$x=\frac{1}{3}$$

Acum rezolvați ecuația x=\frac{1±13}{42} atunci când ± este minus. Scădeți 13 din 1.

$$x=-\frac{12}{42}$$

Reduceți fracția \frac{-12}{42} la cei mai mici termeni, prin extragerea și reducerea 6.

$$x=-\frac{2}{7}$$

Descompuneți în factori expresia inițială utilizând ax^{2}+bx+c=a\left(x-x_{1}\right)\left(x-x_{2}\right). Înlocuiți x_{1} cu \frac{1}{3} și x_{2} cu -\frac{2}{7}.

$$21x^{2}-x-2=21\left(x-\frac{1}{3}\right)\left(x-\left(-\frac{2}{7}\right)\right)$$

Simplificați toate expresiile formei p-\left(-q\right) la p+q.

$$21x^{2}-x-2=21\left(x-\frac{1}{3}\right)\left(x+\frac{2}{7}\right)$$

Scădeți \frac{1}{3} din x găsind un numitor comun și scăzând numărătorii. Apoi simplificați fracția până devine ireductibilă, dacă este posibil.

$$21x^{2}-x-2=21\times \frac{3x-1}{3}\left(x+\frac{2}{7}\right)$$

Adunați \frac{2}{7} cu x găsind un numitor comun și adunând numărătorii. Apoi simplificați fracția până devine ireductibilă, dacă este posibil.

$$21x^{2}-x-2=21\times \frac{3x-1}{3}\times \frac{7x+2}{7}$$

Înmulțiți \frac{3x-1}{3} cu \frac{7x+2}{7} prin înmulțirea valorilor de la numărător și a valorilor de la numitor. Apoi simplificați fracția până devine ireductibilă, dacă este posibil.

$$21x^{2}-x-2=21\times \frac{\left(3x-1\right)\left(7x+2\right)}{3\times 7}$$

Înmulțiți 3 cu 7.

$$21x^{2}-x-2=21\times \frac{\left(3x-1\right)\left(7x+2\right)}{21}$$

Simplificați cu 21, cel mai mare factor comun din 21 și 21.

$$21x^{2}-x-2=\left(3x-1\right)\left(7x+2\right)$$

Evaluați

$$\left(3x-1\right)\left(7x+2\right)$$