Rezolvați 21=3+35x-16x^2

$$21 = 3 + 35 x - 16 x ^ { 2 }$$

Rezolvați pentru x

$$x = \frac{\sqrt{73} + 35}{32} \approx 1,360750117$$

$$x=\frac{35-\sqrt{73}}{32}\approx 0,826749883$$

Pași folosind formula rădăcinilor ecuației de gradul al doilea

Interschimbați părțile, astfel încât toți termenii variabili să fie pe partea stângă.

$$3+35x-16x^{2}=21$$

Scădeți 21 din ambele părți.

$$3+35x-16x^{2}-21=0$$

Scădeți 21 din 3 pentru a obține -18.

$$-18+35x-16x^{2}=0$$

Toate ecuațiile de forma ax^{2}+bx+c=0 pot fi rezolvate utilizând formula rădăcinilor ecuației de gradul al doilea: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Formula rădăcinilor ecuației de gradul al doilea oferă două soluții, una atunci când operația ± este de adunare și una atunci când este de scădere.

$$-16x^{2}+35x-18=0$$

Această ecuație este în formă standard: ax^{2}+bx+c=0. Înlocuiți a cu -16, b cu 35 și c cu -18 în formula rădăcinilor ecuațiilor de gradul al doilea, \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-35±\sqrt{35^{2}-4\left(-16\right)\left(-18\right)}}{2\left(-16\right)}$$

Ridicați 35 la pătrat.

$$x=\frac{-35±\sqrt{1225-4\left(-16\right)\left(-18\right)}}{2\left(-16\right)}$$

Înmulțiți -4 cu -16.

$$x=\frac{-35±\sqrt{1225+64\left(-18\right)}}{2\left(-16\right)}$$

Înmulțiți 64 cu -18.

$$x=\frac{-35±\sqrt{1225-1152}}{2\left(-16\right)}$$

Adunați 1225 cu -1152.

$$x=\frac{-35±\sqrt{73}}{2\left(-16\right)}$$

Înmulțiți 2 cu -16.

$$x=\frac{-35±\sqrt{73}}{-32}$$

Acum rezolvați ecuația x=\frac{-35±\sqrt{73}}{-32} atunci când ± este plus. Adunați -35 cu \sqrt{73}.

$$x=\frac{\sqrt{73}-35}{-32}$$

Împărțiți -35+\sqrt{73} la -32.

$$x=\frac{35-\sqrt{73}}{32}$$

Acum rezolvați ecuația x=\frac{-35±\sqrt{73}}{-32} atunci când ± este minus. Scădeți \sqrt{73} din -35.

$$x=\frac{-\sqrt{73}-35}{-32}$$

Împărțiți -35-\sqrt{73} la -32.

$$x=\frac{\sqrt{73}+35}{32}$$

Ecuația este rezolvată acum.

$$x=\frac{35-\sqrt{73}}{32} x=\frac{\sqrt{73}+35}{32}$$

Pași pentru completarea pătratului

Interschimbați părțile, astfel încât toți termenii variabili să fie pe partea stângă.

$$3+35x-16x^{2}=21$$

Scădeți 3 din ambele părți.

$$35x-16x^{2}=21-3$$

Scădeți 3 din 21 pentru a obține 18.

$$35x-16x^{2}=18$$

Ecuațiile de gradul doi ca aceasta pot fi rezolvate prin completarea pătratului. Pentru a completa pătratul, ecuația trebuie mai întâi să fie sub forma x^{2}+bx=c.

$$-16x^{2}+35x=18$$

Se împart ambele părți la -16.

$$\frac{-16x^{2}+35x}{-16}=\frac{18}{-16}$$

Împărțirea la -16 anulează înmulțirea cu -16.

$$x^{2}+\frac{35}{-16}x=\frac{18}{-16}$$

Împărțiți 35 la -16.

$$x^{2}-\frac{35}{16}x=\frac{18}{-16}$$

Reduceți fracția \frac{18}{-16} la cei mai mici termeni, prin extragerea și reducerea 2.

$$x^{2}-\frac{35}{16}x=-\frac{9}{8}$$

Împărțiți -\frac{35}{16}, coeficientul termenului x, la 2 pentru a obține -\frac{35}{32}. Apoi, adunați pătratul lui -\frac{35}{32} la ambele părți ale ecuației. Acest pas face din partea stângă a ecuației un pătrat perfect.

$$x^{2}-\frac{35}{16}x+\left(-\frac{35}{32}\right)^{2}=-\frac{9}{8}+\left(-\frac{35}{32}\right)^{2}$$

Ridicați -\frac{35}{32} la pătrat, calculând pătratul pentru numărătorul și numitorul fracției.

$$x^{2}-\frac{35}{16}x+\frac{1225}{1024}=-\frac{9}{8}+\frac{1225}{1024}$$

Adunați -\frac{9}{8} cu \frac{1225}{1024} găsind un numitor comun și adunând numărătorii. Apoi simplificați fracția până devine ireductibilă, dacă este posibil.

$$x^{2}-\frac{35}{16}x+\frac{1225}{1024}=\frac{73}{1024}$$

Factor x^{2}-\frac{35}{16}x+\frac{1225}{1024}. În general, atunci când x^{2}+bx+c este un pătrat perfect, el poate fi descompus în factori oricând ca \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x-\frac{35}{32}\right)^{2}=\frac{73}{1024}$$

Aflați rădăcina pătrată pentru ambele părți ale ecuației.

$$\sqrt{\left(x-\frac{35}{32}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{73}{1024}}$$

Simplificați.

$$x-\frac{35}{32}=\frac{\sqrt{73}}{32} x-\frac{35}{32}=-\frac{\sqrt{73}}{32}$$

Adunați \frac{35}{32} la ambele părți ale ecuației.

$$x=\frac{\sqrt{73}+35}{32} x=\frac{35-\sqrt{73}}{32}$$