Rezolvați 200=n(3n+1)/2

$$200 = \frac { n ( 3 n + 1 ) } { 2 }$$

Rezolvați pentru n

$$n = \frac{\sqrt{4801} - 1}{6} \approx 11,381541468$$

$$n=\frac{-\sqrt{4801}-1}{6}\approx -11,714874801$$

Pași folosind formula rădăcinilor ecuației de gradul al doilea

Se înmulțesc ambele părți cu 2.

$$200\times 2=n\left(3n+1\right)$$

Înmulțiți 200 cu 2 pentru a obține 400.

$$400=n\left(3n+1\right)$$

Utilizați proprietatea de distributivitate pentru a înmulți n cu 3n+1.

$$400=3n^{2}+n$$

Interschimbați părțile, astfel încât toți termenii variabili să fie pe partea stângă.

$$3n^{2}+n=400$$

Scădeți 400 din ambele părți.

$$3n^{2}+n-400=0$$

Această ecuație este în formă standard: ax^{2}+bx+c=0. Înlocuiți a cu 3, b cu 1 și c cu -400 în formula rădăcinilor ecuațiilor de gradul al doilea, \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$n=\frac{-1±\sqrt{1^{2}-4\times 3\left(-400\right)}}{2\times 3}$$

Ridicați 1 la pătrat.

$$n=\frac{-1±\sqrt{1-4\times 3\left(-400\right)}}{2\times 3}$$

Înmulțiți -4 cu 3.

$$n=\frac{-1±\sqrt{1-12\left(-400\right)}}{2\times 3}$$

Înmulțiți -12 cu -400.

$$n=\frac{-1±\sqrt{1+4800}}{2\times 3}$$

Adunați 1 cu 4800.

$$n=\frac{-1±\sqrt{4801}}{2\times 3}$$

Înmulțiți 2 cu 3.

$$n=\frac{-1±\sqrt{4801}}{6}$$

Acum rezolvați ecuația n=\frac{-1±\sqrt{4801}}{6} atunci când ± este plus. Adunați -1 cu \sqrt{4801}.

$$n=\frac{\sqrt{4801}-1}{6}$$

Acum rezolvați ecuația n=\frac{-1±\sqrt{4801}}{6} atunci când ± este minus. Scădeți \sqrt{4801} din -1.

$$n=\frac{-\sqrt{4801}-1}{6}$$

Ecuația este rezolvată acum.

$$n=\frac{\sqrt{4801}-1}{6} n=\frac{-\sqrt{4801}-1}{6}$$

Pași pentru completarea pătratului

Se înmulțesc ambele părți cu 2.

$$200\times 2=n\left(3n+1\right)$$

Înmulțiți 200 cu 2 pentru a obține 400.

$$400=n\left(3n+1\right)$$

Utilizați proprietatea de distributivitate pentru a înmulți n cu 3n+1.

$$400=3n^{2}+n$$

Interschimbați părțile, astfel încât toți termenii variabili să fie pe partea stângă.

$$3n^{2}+n=400$$

Se împart ambele părți la 3.

$$\frac{3n^{2}+n}{3}=\frac{400}{3}$$

Împărțirea la 3 anulează înmulțirea cu 3.

$$n^{2}+\frac{1}{3}n=\frac{400}{3}$$

Împărțiți \frac{1}{3}, coeficientul termenului x, la 2 pentru a obține \frac{1}{6}. Apoi, adunați pătratul lui \frac{1}{6} la ambele părți ale ecuației. Acest pas face din partea stângă a ecuației un pătrat perfect.

$$n^{2}+\frac{1}{3}n+\left(\frac{1}{6}\right)^{2}=\frac{400}{3}+\left(\frac{1}{6}\right)^{2}$$

Ridicați \frac{1}{6} la pătrat, calculând pătratul pentru numărătorul și numitorul fracției.

$$n^{2}+\frac{1}{3}n+\frac{1}{36}=\frac{400}{3}+\frac{1}{36}$$

Adunați \frac{400}{3} cu \frac{1}{36} găsind un numitor comun și adunând numărătorii. Apoi simplificați fracția până devine ireductibilă, dacă este posibil.

$$n^{2}+\frac{1}{3}n+\frac{1}{36}=\frac{4801}{36}$$

Factor n^{2}+\frac{1}{3}n+\frac{1}{36}. În general, atunci când x^{2}+bx+c este un pătrat perfect, el poate fi descompus în factori oricând ca \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(n+\frac{1}{6}\right)^{2}=\frac{4801}{36}$$

Aflați rădăcina pătrată pentru ambele părți ale ecuației.

$$\sqrt{\left(n+\frac{1}{6}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{4801}{36}}$$

Simplificați.

$$n+\frac{1}{6}=\frac{\sqrt{4801}}{6} n+\frac{1}{6}=-\frac{\sqrt{4801}}{6}$$

Scădeți \frac{1}{6} din ambele părți ale ecuației.

$$n=\frac{\sqrt{4801}-1}{6} n=\frac{-\sqrt{4801}-1}{6}$$