Rezolvați 20x^2-x-1

$$20 x ^ { 2 } - x - 1$$

Descompunere în factori

$$\left(4x-1\right)\left(5x+1\right)$$

Pașii soluției

Descompuneți expresia în factori prin grupare. Mai întâi, expresia trebuie să fie rescrisă ca 20x^{2}+ax+bx-1. Pentru a găsi a și b, configurați un sistem pentru a fi rezolvat.

$$a+b=-1 ab=20\left(-1\right)=-20$$

Deoarece ab este negativ, a și b au semne opuse. Deoarece a+b este negativ, numărul negativ are o valoare absolută mai mare decât valoarea pozitivă. Listează toate perechi de valori întregi care oferă produse -20.

$$1,-20 2,-10 4,-5$$

Calculați suma pentru fiecare pereche.

$$1-20=-19 2-10=-8 4-5=-1$$

Soluția este perechea care dă suma de -1.

$$a=-5 b=4$$

Rescrieți 20x^{2}-x-1 ca \left(20x^{2}-5x\right)+\left(4x-1\right).

$$\left(20x^{2}-5x\right)+\left(4x-1\right)$$

Scoateți factorul comun 5x din 20x^{2}-5x.

$$5x\left(4x-1\right)+4x-1$$

Scoateți termenul comun 4x-1 prin utilizarea proprietății de distributivitate.

$$\left(4x-1\right)\left(5x+1\right)$$

Pași folosind formula rădăcinilor ecuației de gradul al doilea

Polinomul de gradul doi se poate descompune în factori folosind transformarea ax^{2}+bx+c=a\left(x-x_{1}\right)\left(x-x_{2}\right), unde x_{1} și x_{2} sunt soluțiile ecuației de gradul doi ax^{2}+bx+c=0.

$$20x^{2}-x-1=0$$

Toate ecuațiile de forma ax^{2}+bx+c=0 pot fi rezolvate utilizând formula rădăcinilor ecuației de gradul al doilea: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Formula rădăcinilor ecuației de gradul al doilea oferă două soluții, una atunci când operația ± este de adunare și una atunci când este de scădere.

$$x=\frac{-\left(-1\right)±\sqrt{1-4\times 20\left(-1\right)}}{2\times 20}$$

Înmulțiți -4 cu 20.

$$x=\frac{-\left(-1\right)±\sqrt{1-80\left(-1\right)}}{2\times 20}$$

Înmulțiți -80 cu -1.

$$x=\frac{-\left(-1\right)±\sqrt{1+80}}{2\times 20}$$

Adunați 1 cu 80.

$$x=\frac{-\left(-1\right)±\sqrt{81}}{2\times 20}$$

Aflați rădăcina pătrată pentru 81.

$$x=\frac{-\left(-1\right)±9}{2\times 20}$$

Opusul lui -1 este 1.

$$x=\frac{1±9}{2\times 20}$$

Înmulțiți 2 cu 20.

$$x=\frac{1±9}{40}$$

Acum rezolvați ecuația x=\frac{1±9}{40} atunci când ± este plus. Adunați 1 cu 9.

$$x=\frac{10}{40}$$

Reduceți fracția \frac{10}{40} la cei mai mici termeni, prin extragerea și reducerea 10.

$$x=\frac{1}{4}$$

Acum rezolvați ecuația x=\frac{1±9}{40} atunci când ± este minus. Scădeți 9 din 1.

$$x=-\frac{8}{40}$$

Reduceți fracția \frac{-8}{40} la cei mai mici termeni, prin extragerea și reducerea 8.

$$x=-\frac{1}{5}$$

Descompuneți în factori expresia inițială utilizând ax^{2}+bx+c=a\left(x-x_{1}\right)\left(x-x_{2}\right). Înlocuiți x_{1} cu \frac{1}{4} și x_{2} cu -\frac{1}{5}.

$$20x^{2}-x-1=20\left(x-\frac{1}{4}\right)\left(x-\left(-\frac{1}{5}\right)\right)$$

Simplificați toate expresiile formei p-\left(-q\right) la p+q.

$$20x^{2}-x-1=20\left(x-\frac{1}{4}\right)\left(x+\frac{1}{5}\right)$$

Scădeți \frac{1}{4} din x găsind un numitor comun și scăzând numărătorii. Apoi simplificați fracția până devine ireductibilă, dacă este posibil.

$$20x^{2}-x-1=20\times \frac{4x-1}{4}\left(x+\frac{1}{5}\right)$$

Adunați \frac{1}{5} cu x găsind un numitor comun și adunând numărătorii. Apoi simplificați fracția până devine ireductibilă, dacă este posibil.

$$20x^{2}-x-1=20\times \frac{4x-1}{4}\times \frac{5x+1}{5}$$

Înmulțiți \frac{4x-1}{4} cu \frac{5x+1}{5} prin înmulțirea valorilor de la numărător și a valorilor de la numitor. Apoi simplificați fracția până devine ireductibilă, dacă este posibil.

$$20x^{2}-x-1=20\times \frac{\left(4x-1\right)\left(5x+1\right)}{4\times 5}$$

Înmulțiți 4 cu 5.

$$20x^{2}-x-1=20\times \frac{\left(4x-1\right)\left(5x+1\right)}{20}$$

Simplificați cu 20, cel mai mare factor comun din 20 și 20.

$$20x^{2}-x-1=\left(4x-1\right)\left(5x+1\right)$$

Evaluați

$$\left(4x-1\right)\left(5x+1\right)$$