Rezolvați 20x^2-28x-1=0

$$20 x ^ { 2 } - 28 x - 1 = 0$$

Rezolvați pentru x

$$x = \frac{3 \sqrt{6} + 7}{10} \approx 1,434846923$$

$$x=\frac{7-3\sqrt{6}}{10}\approx -0,034846923$$

Pași folosind formula rădăcinilor ecuației de gradul al doilea

Toate ecuațiile de forma ax^{2}+bx+c=0 pot fi rezolvate utilizând formula rădăcinilor ecuației de gradul al doilea: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Formula rădăcinilor ecuației de gradul al doilea oferă două soluții, una atunci când operația ± este de adunare și una atunci când este de scădere.

$$20x^{2}-28x-1=0$$

Această ecuație este în formă standard: ax^{2}+bx+c=0. Înlocuiți a cu 20, b cu -28 și c cu -1 în formula rădăcinilor ecuațiilor de gradul al doilea, \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-\left(-28\right)±\sqrt{\left(-28\right)^{2}-4\times 20\left(-1\right)}}{2\times 20}$$

Ridicați -28 la pătrat.

$$x=\frac{-\left(-28\right)±\sqrt{784-4\times 20\left(-1\right)}}{2\times 20}$$

Înmulțiți -4 cu 20.

$$x=\frac{-\left(-28\right)±\sqrt{784-80\left(-1\right)}}{2\times 20}$$

Înmulțiți -80 cu -1.

$$x=\frac{-\left(-28\right)±\sqrt{784+80}}{2\times 20}$$

Adunați 784 cu 80.

$$x=\frac{-\left(-28\right)±\sqrt{864}}{2\times 20}$$

Aflați rădăcina pătrată pentru 864.

$$x=\frac{-\left(-28\right)±12\sqrt{6}}{2\times 20}$$

Opusul lui -28 este 28.

$$x=\frac{28±12\sqrt{6}}{2\times 20}$$

Înmulțiți 2 cu 20.

$$x=\frac{28±12\sqrt{6}}{40}$$

Acum rezolvați ecuația x=\frac{28±12\sqrt{6}}{40} atunci când ± este plus. Adunați 28 cu 12\sqrt{6}.

$$x=\frac{12\sqrt{6}+28}{40}$$

Împărțiți 28+12\sqrt{6} la 40.

$$x=\frac{3\sqrt{6}+7}{10}$$

Acum rezolvați ecuația x=\frac{28±12\sqrt{6}}{40} atunci când ± este minus. Scădeți 12\sqrt{6} din 28.

$$x=\frac{28-12\sqrt{6}}{40}$$

Împărțiți 28-12\sqrt{6} la 40.

$$x=\frac{7-3\sqrt{6}}{10}$$

Ecuația este rezolvată acum.

$$x=\frac{3\sqrt{6}+7}{10} x=\frac{7-3\sqrt{6}}{10}$$

Pași pentru completarea pătratului

Ecuațiile de gradul doi ca aceasta pot fi rezolvate prin completarea pătratului. Pentru a completa pătratul, ecuația trebuie mai întâi să fie sub forma x^{2}+bx=c.

$$20x^{2}-28x-1=0$$

Adunați 1 la ambele părți ale ecuației.

$$20x^{2}-28x-1-\left(-1\right)=-\left(-1\right)$$

Scăderea -1 din el însuși are ca rezultat 0.

$$20x^{2}-28x=-\left(-1\right)$$

Scădeți -1 din 0.

$$20x^{2}-28x=1$$

Se împart ambele părți la 20.

$$\frac{20x^{2}-28x}{20}=\frac{1}{20}$$

Împărțirea la 20 anulează înmulțirea cu 20.

$$x^{2}+\left(-\frac{28}{20}\right)x=\frac{1}{20}$$

Reduceți fracția \frac{-28}{20} la cei mai mici termeni, prin extragerea și reducerea 4.

$$x^{2}-\frac{7}{5}x=\frac{1}{20}$$

Împărțiți -\frac{7}{5}, coeficientul termenului x, la 2 pentru a obține -\frac{7}{10}. Apoi, adunați pătratul lui -\frac{7}{10} la ambele părți ale ecuației. Acest pas face din partea stângă a ecuației un pătrat perfect.

$$x^{2}-\frac{7}{5}x+\left(-\frac{7}{10}\right)^{2}=\frac{1}{20}+\left(-\frac{7}{10}\right)^{2}$$

Ridicați -\frac{7}{10} la pătrat, calculând pătratul pentru numărătorul și numitorul fracției.

$$x^{2}-\frac{7}{5}x+\frac{49}{100}=\frac{1}{20}+\frac{49}{100}$$

Adunați \frac{1}{20} cu \frac{49}{100} găsind un numitor comun și adunând numărătorii. Apoi simplificați fracția până devine ireductibilă, dacă este posibil.

$$x^{2}-\frac{7}{5}x+\frac{49}{100}=\frac{27}{50}$$

Factor x^{2}-\frac{7}{5}x+\frac{49}{100}. În general, atunci când x^{2}+bx+c este un pătrat perfect, el poate fi descompus în factori oricând ca \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x-\frac{7}{10}\right)^{2}=\frac{27}{50}$$

Aflați rădăcina pătrată pentru ambele părți ale ecuației.

$$\sqrt{\left(x-\frac{7}{10}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{27}{50}}$$

Simplificați.

$$x-\frac{7}{10}=\frac{3\sqrt{6}}{10} x-\frac{7}{10}=-\frac{3\sqrt{6}}{10}$$

Adunați \frac{7}{10} la ambele părți ale ecuației.

$$x=\frac{3\sqrt{6}+7}{10} x=\frac{7-3\sqrt{6}}{10}$$