Rezolvați 20x^2-157x+222=0

$$20 x ^ { 2 } - 157 x + 222 = 0$$

Rezolvați pentru x

$$x=6$$

$$x = \frac{37}{20} = 1\frac{17}{20} = 1,85$$

Pași folosind formula rădăcinilor ecuației de gradul al doilea

Toate ecuațiile de forma ax^{2}+bx+c=0 pot fi rezolvate utilizând formula rădăcinilor ecuației de gradul al doilea: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Formula rădăcinilor ecuației de gradul al doilea oferă două soluții, una atunci când operația ± este de adunare și una atunci când este de scădere.

$$20x^{2}-157x+222=0$$

Această ecuație este în formă standard: ax^{2}+bx+c=0. Înlocuiți a cu 20, b cu -157 și c cu 222 în formula rădăcinilor ecuațiilor de gradul al doilea, \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-\left(-157\right)±\sqrt{\left(-157\right)^{2}-4\times 20\times 222}}{2\times 20}$$

Ridicați -157 la pătrat.

$$x=\frac{-\left(-157\right)±\sqrt{24649-4\times 20\times 222}}{2\times 20}$$

Înmulțiți -4 cu 20.

$$x=\frac{-\left(-157\right)±\sqrt{24649-80\times 222}}{2\times 20}$$

Înmulțiți -80 cu 222.

$$x=\frac{-\left(-157\right)±\sqrt{24649-17760}}{2\times 20}$$

Adunați 24649 cu -17760.

$$x=\frac{-\left(-157\right)±\sqrt{6889}}{2\times 20}$$

Aflați rădăcina pătrată pentru 6889.

$$x=\frac{-\left(-157\right)±83}{2\times 20}$$

Opusul lui -157 este 157.

$$x=\frac{157±83}{2\times 20}$$

Înmulțiți 2 cu 20.

$$x=\frac{157±83}{40}$$

Acum rezolvați ecuația x=\frac{157±83}{40} atunci când ± este plus. Adunați 157 cu 83.

$$x=\frac{240}{40}$$

Împărțiți 240 la 40.

$$x=6$$

Acum rezolvați ecuația x=\frac{157±83}{40} atunci când ± este minus. Scădeți 83 din 157.

$$x=\frac{74}{40}$$

Reduceți fracția \frac{74}{40} la cei mai mici termeni, prin extragerea și reducerea 2.

$$x=\frac{37}{20}$$

Ecuația este rezolvată acum.

$$x=6 x=\frac{37}{20}$$

Pași pentru completarea pătratului

Ecuațiile de gradul doi ca aceasta pot fi rezolvate prin completarea pătratului. Pentru a completa pătratul, ecuația trebuie mai întâi să fie sub forma x^{2}+bx=c.

$$20x^{2}-157x+222=0$$

Scădeți 222 din ambele părți ale ecuației.

$$20x^{2}-157x+222-222=-222$$

Scăderea 222 din el însuși are ca rezultat 0.

$$20x^{2}-157x=-222$$

Se împart ambele părți la 20.

$$\frac{20x^{2}-157x}{20}=-\frac{222}{20}$$

Împărțirea la 20 anulează înmulțirea cu 20.

$$x^{2}-\frac{157}{20}x=-\frac{222}{20}$$

Reduceți fracția \frac{-222}{20} la cei mai mici termeni, prin extragerea și reducerea 2.

$$x^{2}-\frac{157}{20}x=-\frac{111}{10}$$

Împărțiți -\frac{157}{20}, coeficientul termenului x, la 2 pentru a obține -\frac{157}{40}. Apoi, adunați pătratul lui -\frac{157}{40} la ambele părți ale ecuației. Acest pas face din partea stângă a ecuației un pătrat perfect.

$$x^{2}-\frac{157}{20}x+\left(-\frac{157}{40}\right)^{2}=-\frac{111}{10}+\left(-\frac{157}{40}\right)^{2}$$

Ridicați -\frac{157}{40} la pătrat, calculând pătratul pentru numărătorul și numitorul fracției.

$$x^{2}-\frac{157}{20}x+\frac{24649}{1600}=-\frac{111}{10}+\frac{24649}{1600}$$

Adunați -\frac{111}{10} cu \frac{24649}{1600} găsind un numitor comun și adunând numărătorii. Apoi simplificați fracția până devine ireductibilă, dacă este posibil.

$$x^{2}-\frac{157}{20}x+\frac{24649}{1600}=\frac{6889}{1600}$$

Factor x^{2}-\frac{157}{20}x+\frac{24649}{1600}. În general, atunci când x^{2}+bx+c este un pătrat perfect, el poate fi descompus în factori oricând ca \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x-\frac{157}{40}\right)^{2}=\frac{6889}{1600}$$

Aflați rădăcina pătrată pentru ambele părți ale ecuației.

$$\sqrt{\left(x-\frac{157}{40}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{6889}{1600}}$$

Simplificați.

$$x-\frac{157}{40}=\frac{83}{40} x-\frac{157}{40}=-\frac{83}{40}$$

Adunați \frac{157}{40} la ambele părți ale ecuației.

$$x=6 x=\frac{37}{20}$$