Rezolvați 20p^2+33p+16=6

$$20 p ^ { 2 } + 33 p + 16 = 6$$

Rezolvați pentru p

$$p = -\frac{5}{4} = -1\frac{1}{4} = -1,25$$

$$p=-\frac{2}{5}=-0,4$$

Pași utilizând descompunerea în factori prin grupare

Scădeți 6 din ambele părți.

$$20p^{2}+33p+16-6=0$$

Scădeți 6 din 16 pentru a obține 10.

$$20p^{2}+33p+10=0$$

Pentru a rezolva ecuația, factor mâna stângă după grupare. Mai întâi, fața la stânga trebuie să fie rescrisă ca 20p^{2}+ap+bp+10. Pentru a găsi a și b, configurați un sistem pentru a fi rezolvat.

$$a+b=33 ab=20\times 10=200$$

Deoarece ab este pozitiv, a și b au același semn. Deoarece a+b este pozitiv, a și b sunt ambele pozitive. Listează toate perechi de valori întregi care oferă produse 200.

$$1,200 2,100 4,50 5,40 8,25 10,20$$

Calculați suma pentru fiecare pereche.

$$1+200=201 2+100=102 4+50=54 5+40=45 8+25=33 10+20=30$$

Soluția este perechea care dă suma de 33.

$$a=8 b=25$$

Rescrieți 20p^{2}+33p+10 ca \left(20p^{2}+8p\right)+\left(25p+10\right).

$$\left(20p^{2}+8p\right)+\left(25p+10\right)$$

Factor 4p în primul și 5 în al doilea grup.

$$4p\left(5p+2\right)+5\left(5p+2\right)$$

Scoateți termenul comun 5p+2 prin utilizarea proprietății de distributivitate.

$$\left(5p+2\right)\left(4p+5\right)$$

Pentru a găsi soluții de ecuații, rezolvați 5p+2=0 și 4p+5=0.

$$p=-\frac{2}{5} p=-\frac{5}{4}$$

Pași folosind formula rădăcinilor ecuației de gradul al doilea

Toate ecuațiile de forma ax^{2}+bx+c=0 pot fi rezolvate utilizând formula rădăcinilor ecuației de gradul al doilea: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Formula rădăcinilor ecuației de gradul al doilea oferă două soluții, una atunci când operația ± este de adunare și una atunci când este de scădere.

$$20p^{2}+33p+16=6$$

Scădeți 6 din ambele părți ale ecuației.

$$20p^{2}+33p+16-6=6-6$$

Scăderea 6 din el însuși are ca rezultat 0.

$$20p^{2}+33p+16-6=0$$

Scădeți 6 din 16.

$$20p^{2}+33p+10=0$$

Această ecuație este în formă standard: ax^{2}+bx+c=0. Înlocuiți a cu 20, b cu 33 și c cu 10 în formula rădăcinilor ecuațiilor de gradul al doilea, \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$p=\frac{-33±\sqrt{33^{2}-4\times 20\times 10}}{2\times 20}$$

Ridicați 33 la pătrat.

$$p=\frac{-33±\sqrt{1089-4\times 20\times 10}}{2\times 20}$$

Înmulțiți -4 cu 20.

$$p=\frac{-33±\sqrt{1089-80\times 10}}{2\times 20}$$

Înmulțiți -80 cu 10.

$$p=\frac{-33±\sqrt{1089-800}}{2\times 20}$$

Adunați 1089 cu -800.

$$p=\frac{-33±\sqrt{289}}{2\times 20}$$

Aflați rădăcina pătrată pentru 289.

$$p=\frac{-33±17}{2\times 20}$$

Înmulțiți 2 cu 20.

$$p=\frac{-33±17}{40}$$

Acum rezolvați ecuația p=\frac{-33±17}{40} atunci când ± este plus. Adunați -33 cu 17.

$$p=-\frac{16}{40}$$

Reduceți fracția \frac{-16}{40} la cei mai mici termeni, prin extragerea și reducerea 8.

$$p=-\frac{2}{5}$$

Acum rezolvați ecuația p=\frac{-33±17}{40} atunci când ± este minus. Scădeți 17 din -33.

$$p=-\frac{50}{40}$$

Reduceți fracția \frac{-50}{40} la cei mai mici termeni, prin extragerea și reducerea 10.

$$p=-\frac{5}{4}$$

Ecuația este rezolvată acum.

$$p=-\frac{2}{5} p=-\frac{5}{4}$$

Pași pentru completarea pătratului

Ecuațiile de gradul doi ca aceasta pot fi rezolvate prin completarea pătratului. Pentru a completa pătratul, ecuația trebuie mai întâi să fie sub forma x^{2}+bx=c.

$$20p^{2}+33p+16=6$$

Scădeți 16 din ambele părți ale ecuației.

$$20p^{2}+33p+16-16=6-16$$

Scăderea 16 din el însuși are ca rezultat 0.

$$20p^{2}+33p=6-16$$

Scădeți 16 din 6.

$$20p^{2}+33p=-10$$

Se împart ambele părți la 20.

$$\frac{20p^{2}+33p}{20}=-\frac{10}{20}$$

Împărțirea la 20 anulează înmulțirea cu 20.

$$p^{2}+\frac{33}{20}p=-\frac{10}{20}$$

Reduceți fracția \frac{-10}{20} la cei mai mici termeni, prin extragerea și reducerea 10.

$$p^{2}+\frac{33}{20}p=-\frac{1}{2}$$

Împărțiți \frac{33}{20}, coeficientul termenului x, la 2 pentru a obține \frac{33}{40}. Apoi, adunați pătratul lui \frac{33}{40} la ambele părți ale ecuației. Acest pas face din partea stângă a ecuației un pătrat perfect.

$$p^{2}+\frac{33}{20}p+\left(\frac{33}{40}\right)^{2}=-\frac{1}{2}+\left(\frac{33}{40}\right)^{2}$$

Ridicați \frac{33}{40} la pătrat, calculând pătratul pentru numărătorul și numitorul fracției.

$$p^{2}+\frac{33}{20}p+\frac{1089}{1600}=-\frac{1}{2}+\frac{1089}{1600}$$

Adunați -\frac{1}{2} cu \frac{1089}{1600} găsind un numitor comun și adunând numărătorii. Apoi simplificați fracția până devine ireductibilă, dacă este posibil.

$$p^{2}+\frac{33}{20}p+\frac{1089}{1600}=\frac{289}{1600}$$

Factor p^{2}+\frac{33}{20}p+\frac{1089}{1600}. În general, atunci când x^{2}+bx+c este un pătrat perfect, el poate fi descompus în factori oricând ca \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(p+\frac{33}{40}\right)^{2}=\frac{289}{1600}$$

Aflați rădăcina pătrată pentru ambele părți ale ecuației.

$$\sqrt{\left(p+\frac{33}{40}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{289}{1600}}$$

Simplificați.

$$p+\frac{33}{40}=\frac{17}{40} p+\frac{33}{40}=-\frac{17}{40}$$

Scădeți \frac{33}{40} din ambele părți ale ecuației.

$$p=-\frac{2}{5} p=-\frac{5}{4}$$