Rezolvați 20x^2-x-1=0

$$20 { x }^{ 2 } -x-1=0$$

Rezolvați pentru x

$$x=-\frac{1}{5}=-0,2$$

$$x=\frac{1}{4}=0,25$$

Pași utilizând descompunerea în factori prin grupare

Pentru a rezolva ecuația, factor mâna stângă după grupare. Mai întâi, fața la stânga trebuie să fie rescrisă ca 20x^{2}+ax+bx-1. Pentru a găsi a și b, configurați un sistem pentru a fi rezolvat.

$$a+b=-1 ab=20\left(-1\right)=-20$$

Deoarece ab este negativ, a și b au semne opuse. Deoarece a+b este negativ, numărul negativ are o valoare absolută mai mare decât valoarea pozitivă. Listează toate perechi de valori întregi care oferă produse -20.

$$1,-20 2,-10 4,-5$$

Calculați suma pentru fiecare pereche.

$$1-20=-19 2-10=-8 4-5=-1$$

Soluția este perechea care dă suma de -1.

$$a=-5 b=4$$

Rescrieți 20x^{2}-x-1 ca \left(20x^{2}-5x\right)+\left(4x-1\right).

$$\left(20x^{2}-5x\right)+\left(4x-1\right)$$

Scoateți factorul comun 5x din 20x^{2}-5x.

$$5x\left(4x-1\right)+4x-1$$

Scoateți termenul comun 4x-1 prin utilizarea proprietății de distributivitate.

$$\left(4x-1\right)\left(5x+1\right)$$

Pentru a găsi soluții de ecuații, rezolvați 4x-1=0 și 5x+1=0.

$$x=\frac{1}{4} x=-\frac{1}{5}$$

Pași folosind formula rădăcinilor ecuației de gradul al doilea

Toate ecuațiile de forma ax^{2}+bx+c=0 pot fi rezolvate utilizând formula rădăcinilor ecuației de gradul al doilea: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Formula rădăcinilor ecuației de gradul al doilea oferă două soluții, una atunci când operația ± este de adunare și una atunci când este de scădere.

$$20x^{2}-x-1=0$$

Această ecuație este în formă standard: ax^{2}+bx+c=0. Înlocuiți a cu 20, b cu -1 și c cu -1 în formula rădăcinilor ecuațiilor de gradul al doilea, \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-\left(-1\right)±\sqrt{1-4\times 20\left(-1\right)}}{2\times 20}$$

Înmulțiți -4 cu 20.

$$x=\frac{-\left(-1\right)±\sqrt{1-80\left(-1\right)}}{2\times 20}$$

Înmulțiți -80 cu -1.

$$x=\frac{-\left(-1\right)±\sqrt{1+80}}{2\times 20}$$

Adunați 1 cu 80.

$$x=\frac{-\left(-1\right)±\sqrt{81}}{2\times 20}$$

Aflați rădăcina pătrată pentru 81.

$$x=\frac{-\left(-1\right)±9}{2\times 20}$$

Opusul lui -1 este 1.

$$x=\frac{1±9}{2\times 20}$$

Înmulțiți 2 cu 20.

$$x=\frac{1±9}{40}$$

Acum rezolvați ecuația x=\frac{1±9}{40} atunci când ± este plus. Adunați 1 cu 9.

$$x=\frac{10}{40}$$

Reduceți fracția \frac{10}{40} la cei mai mici termeni, prin extragerea și reducerea 10.

$$x=\frac{1}{4}$$

Acum rezolvați ecuația x=\frac{1±9}{40} atunci când ± este minus. Scădeți 9 din 1.

$$x=-\frac{8}{40}$$

Reduceți fracția \frac{-8}{40} la cei mai mici termeni, prin extragerea și reducerea 8.

$$x=-\frac{1}{5}$$

Ecuația este rezolvată acum.

$$x=\frac{1}{4} x=-\frac{1}{5}$$

Pași pentru completarea pătratului

Ecuațiile de gradul doi ca aceasta pot fi rezolvate prin completarea pătratului. Pentru a completa pătratul, ecuația trebuie mai întâi să fie sub forma x^{2}+bx=c.

$$20x^{2}-x-1=0$$

Adunați 1 la ambele părți ale ecuației.

$$20x^{2}-x-1-\left(-1\right)=-\left(-1\right)$$

Scăderea -1 din el însuși are ca rezultat 0.

$$20x^{2}-x=-\left(-1\right)$$

Scădeți -1 din 0.

$$20x^{2}-x=1$$

Se împart ambele părți la 20.

$$\frac{20x^{2}-x}{20}=\frac{1}{20}$$

Împărțirea la 20 anulează înmulțirea cu 20.

$$x^{2}-\frac{1}{20}x=\frac{1}{20}$$

Împărțiți -\frac{1}{20}, coeficientul termenului x, la 2 pentru a obține -\frac{1}{40}. Apoi, adunați pătratul lui -\frac{1}{40} la ambele părți ale ecuației. Acest pas face din partea stângă a ecuației un pătrat perfect.

$$x^{2}-\frac{1}{20}x+\left(-\frac{1}{40}\right)^{2}=\frac{1}{20}+\left(-\frac{1}{40}\right)^{2}$$

Ridicați -\frac{1}{40} la pătrat, calculând pătratul pentru numărătorul și numitorul fracției.

$$x^{2}-\frac{1}{20}x+\frac{1}{1600}=\frac{1}{20}+\frac{1}{1600}$$

Adunați \frac{1}{20} cu \frac{1}{1600} găsind un numitor comun și adunând numărătorii. Apoi simplificați fracția până devine ireductibilă, dacă este posibil.

$$x^{2}-\frac{1}{20}x+\frac{1}{1600}=\frac{81}{1600}$$

Factor x^{2}-\frac{1}{20}x+\frac{1}{1600}. În general, atunci când x^{2}+bx+c este un pătrat perfect, el poate fi descompus în factori oricând ca \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x-\frac{1}{40}\right)^{2}=\frac{81}{1600}$$

Aflați rădăcina pătrată pentru ambele părți ale ecuației.

$$\sqrt{\left(x-\frac{1}{40}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{81}{1600}}$$

Simplificați.

$$x-\frac{1}{40}=\frac{9}{40} x-\frac{1}{40}=-\frac{9}{40}$$

Adunați \frac{1}{40} la ambele părți ale ecuației.

$$x=\frac{1}{4} x=-\frac{1}{5}$$