Rezolvați 20x^2+35x+12=0

$$20 { x }^{ 2 } +35x+12=0$$

Rezolvați pentru x

$$x=\frac{\sqrt{265}}{40}-\frac{7}{8}\approx -0,468029485$$

$$x=-\frac{\sqrt{265}}{40}-\frac{7}{8}\approx -1,281970515$$

Pași folosind formula rădăcinilor ecuației de gradul al doilea

Toate ecuațiile de forma ax^{2}+bx+c=0 pot fi rezolvate utilizând formula rădăcinilor ecuației de gradul al doilea: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Formula rădăcinilor ecuației de gradul al doilea oferă două soluții, una atunci când operația ± este de adunare și una atunci când este de scădere.

$$20x^{2}+35x+12=0$$

Această ecuație este în formă standard: ax^{2}+bx+c=0. Înlocuiți a cu 20, b cu 35 și c cu 12 în formula rădăcinilor ecuațiilor de gradul al doilea, \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-35±\sqrt{35^{2}-4\times 20\times 12}}{2\times 20}$$

Ridicați 35 la pătrat.

$$x=\frac{-35±\sqrt{1225-4\times 20\times 12}}{2\times 20}$$

Înmulțiți -4 cu 20.

$$x=\frac{-35±\sqrt{1225-80\times 12}}{2\times 20}$$

Înmulțiți -80 cu 12.

$$x=\frac{-35±\sqrt{1225-960}}{2\times 20}$$

Adunați 1225 cu -960.

$$x=\frac{-35±\sqrt{265}}{2\times 20}$$

Înmulțiți 2 cu 20.

$$x=\frac{-35±\sqrt{265}}{40}$$

Acum rezolvați ecuația x=\frac{-35±\sqrt{265}}{40} atunci când ± este plus. Adunați -35 cu \sqrt{265}.

$$x=\frac{\sqrt{265}-35}{40}$$

Împărțiți -35+\sqrt{265} la 40.

$$x=\frac{\sqrt{265}}{40}-\frac{7}{8}$$

Acum rezolvați ecuația x=\frac{-35±\sqrt{265}}{40} atunci când ± este minus. Scădeți \sqrt{265} din -35.

$$x=\frac{-\sqrt{265}-35}{40}$$

Împărțiți -35-\sqrt{265} la 40.

$$x=-\frac{\sqrt{265}}{40}-\frac{7}{8}$$

Ecuația este rezolvată acum.

$$x=\frac{\sqrt{265}}{40}-\frac{7}{8} x=-\frac{\sqrt{265}}{40}-\frac{7}{8}$$

Pași pentru completarea pătratului

Ecuațiile de gradul doi ca aceasta pot fi rezolvate prin completarea pătratului. Pentru a completa pătratul, ecuația trebuie mai întâi să fie sub forma x^{2}+bx=c.

$$20x^{2}+35x+12=0$$

Scădeți 12 din ambele părți ale ecuației.

$$20x^{2}+35x+12-12=-12$$

Scăderea 12 din el însuși are ca rezultat 0.

$$20x^{2}+35x=-12$$

Se împart ambele părți la 20.

$$\frac{20x^{2}+35x}{20}=-\frac{12}{20}$$

Împărțirea la 20 anulează înmulțirea cu 20.

$$x^{2}+\frac{35}{20}x=-\frac{12}{20}$$

Reduceți fracția \frac{35}{20} la cei mai mici termeni, prin extragerea și reducerea 5.

$$x^{2}+\frac{7}{4}x=-\frac{12}{20}$$

Reduceți fracția \frac{-12}{20} la cei mai mici termeni, prin extragerea și reducerea 4.

$$x^{2}+\frac{7}{4}x=-\frac{3}{5}$$

Împărțiți \frac{7}{4}, coeficientul termenului x, la 2 pentru a obține \frac{7}{8}. Apoi, adunați pătratul lui \frac{7}{8} la ambele părți ale ecuației. Acest pas face din partea stângă a ecuației un pătrat perfect.

$$x^{2}+\frac{7}{4}x+\left(\frac{7}{8}\right)^{2}=-\frac{3}{5}+\left(\frac{7}{8}\right)^{2}$$

Ridicați \frac{7}{8} la pătrat, calculând pătratul pentru numărătorul și numitorul fracției.

$$x^{2}+\frac{7}{4}x+\frac{49}{64}=-\frac{3}{5}+\frac{49}{64}$$

Adunați -\frac{3}{5} cu \frac{49}{64} găsind un numitor comun și adunând numărătorii. Apoi simplificați fracția până devine ireductibilă, dacă este posibil.

$$x^{2}+\frac{7}{4}x+\frac{49}{64}=\frac{53}{320}$$

Factor x^{2}+\frac{7}{4}x+\frac{49}{64}. În general, atunci când x^{2}+bx+c este un pătrat perfect, el poate fi descompus în factori oricând ca \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x+\frac{7}{8}\right)^{2}=\frac{53}{320}$$

Aflați rădăcina pătrată pentru ambele părți ale ecuației.

$$\sqrt{\left(x+\frac{7}{8}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{53}{320}}$$

Simplificați.

$$x+\frac{7}{8}=\frac{\sqrt{265}}{40} x+\frac{7}{8}=-\frac{\sqrt{265}}{40}$$

Scădeți \frac{7}{8} din ambele părți ale ecuației.

$$x=\frac{\sqrt{265}}{40}-\frac{7}{8} x=-\frac{\sqrt{265}}{40}-\frac{7}{8}$$