Rezolvați 20x^2+11x-3

$$20 { x }^{ 2 } +11x-3$$

Descompunere în factori

$$\left(5x-1\right)\left(4x+3\right)$$

Pașii soluției

Descompuneți expresia în factori prin grupare. Mai întâi, expresia trebuie să fie rescrisă ca 20x^{2}+ax+bx-3. Pentru a găsi a și b, configurați un sistem pentru a fi rezolvat.

$$a+b=11 ab=20\left(-3\right)=-60$$

Deoarece ab este negativ, a și b au semne opuse. Deoarece a+b este pozitiv, numărul pozitiv are o valoare absolută mai mare decât valoarea negativă. Listează toate perechi de valori întregi care oferă produse -60.

$$-1,60 -2,30 -3,20 -4,15 -5,12 -6,10$$

Calculați suma pentru fiecare pereche.

$$-1+60=59 -2+30=28 -3+20=17 -4+15=11 -5+12=7 -6+10=4$$

Soluția este perechea care dă suma de 11.

$$a=-4 b=15$$

Rescrieți 20x^{2}+11x-3 ca \left(20x^{2}-4x\right)+\left(15x-3\right).

$$\left(20x^{2}-4x\right)+\left(15x-3\right)$$

Factor 4x în primul și 3 în al doilea grup.

$$4x\left(5x-1\right)+3\left(5x-1\right)$$

Scoateți termenul comun 5x-1 prin utilizarea proprietății de distributivitate.

$$\left(5x-1\right)\left(4x+3\right)$$

Pași folosind formula rădăcinilor ecuației de gradul al doilea

Polinomul de gradul doi se poate descompune în factori folosind transformarea ax^{2}+bx+c=a\left(x-x_{1}\right)\left(x-x_{2}\right), unde x_{1} și x_{2} sunt soluțiile ecuației de gradul doi ax^{2}+bx+c=0.

$$20x^{2}+11x-3=0$$

Toate ecuațiile de forma ax^{2}+bx+c=0 pot fi rezolvate utilizând formula rădăcinilor ecuației de gradul al doilea: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Formula rădăcinilor ecuației de gradul al doilea oferă două soluții, una atunci când operația ± este de adunare și una atunci când este de scădere.

$$x=\frac{-11±\sqrt{11^{2}-4\times 20\left(-3\right)}}{2\times 20}$$

Ridicați 11 la pătrat.

$$x=\frac{-11±\sqrt{121-4\times 20\left(-3\right)}}{2\times 20}$$

Înmulțiți -4 cu 20.

$$x=\frac{-11±\sqrt{121-80\left(-3\right)}}{2\times 20}$$

Înmulțiți -80 cu -3.

$$x=\frac{-11±\sqrt{121+240}}{2\times 20}$$

Adunați 121 cu 240.

$$x=\frac{-11±\sqrt{361}}{2\times 20}$$

Aflați rădăcina pătrată pentru 361.

$$x=\frac{-11±19}{2\times 20}$$

Înmulțiți 2 cu 20.

$$x=\frac{-11±19}{40}$$

Acum rezolvați ecuația x=\frac{-11±19}{40} atunci când ± este plus. Adunați -11 cu 19.

$$x=\frac{8}{40}$$

Reduceți fracția \frac{8}{40} la cei mai mici termeni, prin extragerea și reducerea 8.

$$x=\frac{1}{5}$$

Acum rezolvați ecuația x=\frac{-11±19}{40} atunci când ± este minus. Scădeți 19 din -11.

$$x=-\frac{30}{40}$$

Reduceți fracția \frac{-30}{40} la cei mai mici termeni, prin extragerea și reducerea 10.

$$x=-\frac{3}{4}$$

Descompuneți în factori expresia inițială utilizând ax^{2}+bx+c=a\left(x-x_{1}\right)\left(x-x_{2}\right). Înlocuiți x_{1} cu \frac{1}{5} și x_{2} cu -\frac{3}{4}.

$$20x^{2}+11x-3=20\left(x-\frac{1}{5}\right)\left(x-\left(-\frac{3}{4}\right)\right)$$

Simplificați toate expresiile formei p-\left(-q\right) la p+q.

$$20x^{2}+11x-3=20\left(x-\frac{1}{5}\right)\left(x+\frac{3}{4}\right)$$

Scădeți \frac{1}{5} din x găsind un numitor comun și scăzând numărătorii. Apoi simplificați fracția până devine ireductibilă, dacă este posibil.

$$20x^{2}+11x-3=20\times \frac{5x-1}{5}\left(x+\frac{3}{4}\right)$$

Adunați \frac{3}{4} cu x găsind un numitor comun și adunând numărătorii. Apoi simplificați fracția până devine ireductibilă, dacă este posibil.

$$20x^{2}+11x-3=20\times \frac{5x-1}{5}\times \frac{4x+3}{4}$$

Înmulțiți \frac{5x-1}{5} cu \frac{4x+3}{4} prin înmulțirea valorilor de la numărător și a valorilor de la numitor. Apoi simplificați fracția până devine ireductibilă, dacă este posibil.

$$20x^{2}+11x-3=20\times \frac{\left(5x-1\right)\left(4x+3\right)}{5\times 4}$$

Înmulțiți 5 cu 4.

$$20x^{2}+11x-3=20\times \frac{\left(5x-1\right)\left(4x+3\right)}{20}$$

Simplificați cu 20, cel mai mare factor comun din 20 și 20.

$$20x^{2}+11x-3=\left(5x-1\right)\left(4x+3\right)$$

Evaluați

$$\left(5x-1\right)\left(4x+3\right)$$