Rezolvați 20a^2-17a-3=0

$$20 { a }^{ 2 } -17a-3 = 0$$

Rezolvați pentru a

$$a=-\frac{3}{20}=-0,15$$

$$a=1$$

Pași utilizând descompunerea în factori prin grupare

Pentru a rezolva ecuația, factor mâna stângă după grupare. Mai întâi, fața la stânga trebuie să fie rescrisă ca 20a^{2}+aa+ba-3. Pentru a găsi a și b, configurați un sistem pentru a fi rezolvat.

$$a+b=-17 ab=20\left(-3\right)=-60$$

Deoarece ab este negativ, a și b au semne opuse. Deoarece a+b este negativ, numărul negativ are o valoare absolută mai mare decât valoarea pozitivă. Listează toate perechi de valori întregi care oferă produse -60.

$$1,-60 2,-30 3,-20 4,-15 5,-12 6,-10$$

Calculați suma pentru fiecare pereche.

$$1-60=-59 2-30=-28 3-20=-17 4-15=-11 5-12=-7 6-10=-4$$

Soluția este perechea care dă suma de -17.

$$a=-20 b=3$$

Rescrieți 20a^{2}-17a-3 ca \left(20a^{2}-20a\right)+\left(3a-3\right).

$$\left(20a^{2}-20a\right)+\left(3a-3\right)$$

Factor 20a în primul și 3 în al doilea grup.

$$20a\left(a-1\right)+3\left(a-1\right)$$

Scoateți termenul comun a-1 prin utilizarea proprietății de distributivitate.

$$\left(a-1\right)\left(20a+3\right)$$

Pentru a găsi soluții de ecuații, rezolvați a-1=0 și 20a+3=0.

$$a=1 a=-\frac{3}{20}$$

Pași folosind formula rădăcinilor ecuației de gradul al doilea

Toate ecuațiile de forma ax^{2}+bx+c=0 pot fi rezolvate utilizând formula rădăcinilor ecuației de gradul al doilea: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Formula rădăcinilor ecuației de gradul al doilea oferă două soluții, una atunci când operația ± este de adunare și una atunci când este de scădere.

$$20a^{2}-17a-3=0$$

Această ecuație este în formă standard: ax^{2}+bx+c=0. Înlocuiți a cu 20, b cu -17 și c cu -3 în formula rădăcinilor ecuațiilor de gradul al doilea, \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$a=\frac{-\left(-17\right)±\sqrt{\left(-17\right)^{2}-4\times 20\left(-3\right)}}{2\times 20}$$

Ridicați -17 la pătrat.

$$a=\frac{-\left(-17\right)±\sqrt{289-4\times 20\left(-3\right)}}{2\times 20}$$

Înmulțiți -4 cu 20.

$$a=\frac{-\left(-17\right)±\sqrt{289-80\left(-3\right)}}{2\times 20}$$

Înmulțiți -80 cu -3.

$$a=\frac{-\left(-17\right)±\sqrt{289+240}}{2\times 20}$$

Adunați 289 cu 240.

$$a=\frac{-\left(-17\right)±\sqrt{529}}{2\times 20}$$

Aflați rădăcina pătrată pentru 529.

$$a=\frac{-\left(-17\right)±23}{2\times 20}$$

Opusul lui -17 este 17.

$$a=\frac{17±23}{2\times 20}$$

Înmulțiți 2 cu 20.

$$a=\frac{17±23}{40}$$

Acum rezolvați ecuația a=\frac{17±23}{40} atunci când ± este plus. Adunați 17 cu 23.

$$a=\frac{40}{40}$$

Împărțiți 40 la 40.

$$a=1$$

Acum rezolvați ecuația a=\frac{17±23}{40} atunci când ± este minus. Scădeți 23 din 17.

$$a=-\frac{6}{40}$$

Reduceți fracția \frac{-6}{40} la cei mai mici termeni, prin extragerea și reducerea 2.

$$a=-\frac{3}{20}$$

Ecuația este rezolvată acum.

$$a=1 a=-\frac{3}{20}$$

Pași pentru completarea pătratului

Ecuațiile de gradul doi ca aceasta pot fi rezolvate prin completarea pătratului. Pentru a completa pătratul, ecuația trebuie mai întâi să fie sub forma x^{2}+bx=c.

$$20a^{2}-17a-3=0$$

Adunați 3 la ambele părți ale ecuației.

$$20a^{2}-17a-3-\left(-3\right)=-\left(-3\right)$$

Scăderea -3 din el însuși are ca rezultat 0.

$$20a^{2}-17a=-\left(-3\right)$$

Scădeți -3 din 0.

$$20a^{2}-17a=3$$

Se împart ambele părți la 20.

$$\frac{20a^{2}-17a}{20}=\frac{3}{20}$$

Împărțirea la 20 anulează înmulțirea cu 20.

$$a^{2}-\frac{17}{20}a=\frac{3}{20}$$

Împărțiți -\frac{17}{20}, coeficientul termenului x, la 2 pentru a obține -\frac{17}{40}. Apoi, adunați pătratul lui -\frac{17}{40} la ambele părți ale ecuației. Acest pas face din partea stângă a ecuației un pătrat perfect.

$$a^{2}-\frac{17}{20}a+\left(-\frac{17}{40}\right)^{2}=\frac{3}{20}+\left(-\frac{17}{40}\right)^{2}$$

Ridicați -\frac{17}{40} la pătrat, calculând pătratul pentru numărătorul și numitorul fracției.

$$a^{2}-\frac{17}{20}a+\frac{289}{1600}=\frac{3}{20}+\frac{289}{1600}$$

Adunați \frac{3}{20} cu \frac{289}{1600} găsind un numitor comun și adunând numărătorii. Apoi simplificați fracția până devine ireductibilă, dacă este posibil.

$$a^{2}-\frac{17}{20}a+\frac{289}{1600}=\frac{529}{1600}$$

Factor a^{2}-\frac{17}{20}a+\frac{289}{1600}. În general, atunci când x^{2}+bx+c este un pătrat perfect, el poate fi descompus în factori oricând ca \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(a-\frac{17}{40}\right)^{2}=\frac{529}{1600}$$

Aflați rădăcina pătrată pentru ambele părți ale ecuației.

$$\sqrt{\left(a-\frac{17}{40}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{529}{1600}}$$

Simplificați.

$$a-\frac{17}{40}=\frac{23}{40} a-\frac{17}{40}=-\frac{23}{40}$$

Adunați \frac{17}{40} la ambele părți ale ecuației.

$$a=1 a=-\frac{3}{20}$$