Rezolvați 20=-49t^2+20t+130

$$20 = - 49 t ^ { 2 } + 20 t + 130$$

Rezolvați pentru t

$$t = \frac{3 \sqrt{610} + 10}{49} \approx 1,716214984$$

$$t=\frac{10-3\sqrt{610}}{49}\approx -1,308051719$$

Pași folosind formula rădăcinilor ecuației de gradul al doilea

Interschimbați părțile, astfel încât toți termenii variabili să fie pe partea stângă.

$$-49t^{2}+20t+130=20$$

Scădeți 20 din ambele părți.

$$-49t^{2}+20t+130-20=0$$

Scădeți 20 din 130 pentru a obține 110.

$$-49t^{2}+20t+110=0$$

Această ecuație este în formă standard: ax^{2}+bx+c=0. Înlocuiți a cu -49, b cu 20 și c cu 110 în formula rădăcinilor ecuațiilor de gradul al doilea, \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$t=\frac{-20±\sqrt{20^{2}-4\left(-49\right)\times 110}}{2\left(-49\right)}$$

Ridicați 20 la pătrat.

$$t=\frac{-20±\sqrt{400-4\left(-49\right)\times 110}}{2\left(-49\right)}$$

Înmulțiți -4 cu -49.

$$t=\frac{-20±\sqrt{400+196\times 110}}{2\left(-49\right)}$$

Înmulțiți 196 cu 110.

$$t=\frac{-20±\sqrt{400+21560}}{2\left(-49\right)}$$

Adunați 400 cu 21560.

$$t=\frac{-20±\sqrt{21960}}{2\left(-49\right)}$$

Aflați rădăcina pătrată pentru 21960.

$$t=\frac{-20±6\sqrt{610}}{2\left(-49\right)}$$

Înmulțiți 2 cu -49.

$$t=\frac{-20±6\sqrt{610}}{-98}$$

Acum rezolvați ecuația t=\frac{-20±6\sqrt{610}}{-98} atunci când ± este plus. Adunați -20 cu 6\sqrt{610}.

$$t=\frac{6\sqrt{610}-20}{-98}$$

Împărțiți -20+6\sqrt{610} la -98.

$$t=\frac{10-3\sqrt{610}}{49}$$

Acum rezolvați ecuația t=\frac{-20±6\sqrt{610}}{-98} atunci când ± este minus. Scădeți 6\sqrt{610} din -20.

$$t=\frac{-6\sqrt{610}-20}{-98}$$

Împărțiți -20-6\sqrt{610} la -98.

$$t=\frac{3\sqrt{610}+10}{49}$$

Ecuația este rezolvată acum.

$$t=\frac{10-3\sqrt{610}}{49} t=\frac{3\sqrt{610}+10}{49}$$

Pași pentru completarea pătratului

Interschimbați părțile, astfel încât toți termenii variabili să fie pe partea stângă.

$$-49t^{2}+20t+130=20$$

Scădeți 130 din ambele părți.

$$-49t^{2}+20t=20-130$$

Scădeți 130 din 20 pentru a obține -110.

$$-49t^{2}+20t=-110$$

Se împart ambele părți la -49.

$$\frac{-49t^{2}+20t}{-49}=-\frac{110}{-49}$$

Împărțirea la -49 anulează înmulțirea cu -49.

$$t^{2}+\frac{20}{-49}t=-\frac{110}{-49}$$

Împărțiți 20 la -49.

$$t^{2}-\frac{20}{49}t=-\frac{110}{-49}$$

Împărțiți -110 la -49.

$$t^{2}-\frac{20}{49}t=\frac{110}{49}$$

Împărțiți -\frac{20}{49}, coeficientul termenului x, la 2 pentru a obține -\frac{10}{49}. Apoi, adunați pătratul lui -\frac{10}{49} la ambele părți ale ecuației. Acest pas face din partea stângă a ecuației un pătrat perfect.

$$t^{2}-\frac{20}{49}t+\left(-\frac{10}{49}\right)^{2}=\frac{110}{49}+\left(-\frac{10}{49}\right)^{2}$$

Ridicați -\frac{10}{49} la pătrat, calculând pătratul pentru numărătorul și numitorul fracției.

$$t^{2}-\frac{20}{49}t+\frac{100}{2401}=\frac{110}{49}+\frac{100}{2401}$$

Adunați \frac{110}{49} cu \frac{100}{2401} găsind un numitor comun și adunând numărătorii. Apoi simplificați fracția până devine ireductibilă, dacă este posibil.

$$t^{2}-\frac{20}{49}t+\frac{100}{2401}=\frac{5490}{2401}$$

Factor t^{2}-\frac{20}{49}t+\frac{100}{2401}. În general, atunci când x^{2}+bx+c este un pătrat perfect, el poate fi descompus în factori oricând ca \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(t-\frac{10}{49}\right)^{2}=\frac{5490}{2401}$$

Aflați rădăcina pătrată pentru ambele părți ale ecuației.

$$\sqrt{\left(t-\frac{10}{49}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{5490}{2401}}$$

Simplificați.

$$t-\frac{10}{49}=\frac{3\sqrt{610}}{49} t-\frac{10}{49}=-\frac{3\sqrt{610}}{49}$$

Adunați \frac{10}{49} la ambele părți ale ecuației.

$$t=\frac{3\sqrt{610}+10}{49} t=\frac{10-3\sqrt{610}}{49}$$